ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98473
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите неравенство     при любых натуральных n и k.


Решение

  После умножения обеих частей неравенства на знаменатель правой части и приведения подобных членов получим:
(1k + 2k + … + (n – 1)k)nk ≤ (2k + 3k + ... + nk)(n – 1)k.
  Таким образом, достаточно убедиться в справедливости неравенства  (m – 1)knk ≤ mk(n – 1)k  при  m = 2, 3, ... , n.  Это просто:
(m – 1)knk ≤ mk(n – 1)k  ⇔  (m – 1)n ≤ m(n – 1)  ⇔  m ≤ n.

Замечания

1. Исходное неравенство нетрудно доказать и по индукции.

2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1999/2000
Номер 21
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .