ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98533
Темы:    [ Произведения и факториалы ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Cлава перемножил первые n натуральных чисел, а Валера перемножил первые m чётных натуральных чисел (n и m больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.


Решение

  У Славы получилось число n!, a у Валеры – число  2·4·6·...·(2m) = 2m·m!.  Предположив, что они равны и разделив на m!, получим
2m = (m + 1)(m + 2)...(n – 1)n.  Так как  m > 1,  то все множители в правой части больше единицы. Но среди первых двух множителей один нечётный, что невозможно. Следовательно, произведение сводится к одному множителю, то есть  2m = m + 1.
  Но  2m = (2m–1 + 2m–2 + ... + 2 + 1) + 1 > (1 + 1 + ... + 1 + 1) + 1 = m + 1.  Противоречие.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .