ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98537
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Высотой пятиугольника назовём отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону, а медианой – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Известно, что в некотором пятиугольнике равны десять длин – длины всех высот и всех медиан. Докажите, что этот пятиугольник – правильный.


Решение

  Обозначим наш пятиугольник ABCDE. В треугольнике ABD длина медианы, проведённой из вершины D, равна длине высоты, опущенной из этой же вершины. Значит, они совпадают, и треугольник равнобедренный  (AD = BD).  Аналогично доказывается равенство всех диагоналей пятиугольника.
  Треугольники ADB и CAD равны, как равнобедренные с равными боковыми сторонами и высотами, проведёнными к основанию. Поэтому  AB = CD.  Так же доказывается равенство всех сторон пятиугольника. Равенство его углов следует из равенства (по трём сторонам) треугольников ABC, BCD, CDE, EDA и DAB.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .