Задача 98542

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Существуют ли такие натуральные числа  a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀₀,  что  НОД(a₁, a₂) > НОД(a₂, a₃) > ... > НОД(a₉₉, a₁₀₀)?

Решение

Первый пример:  a_i = 2¹⁰⁰ – 2^100–i.  НОД(a_i, a_i+1) = (2^100–i, 2^99–i) = 2^99–i.

Второй пример:  a_i = p_ip_i+1q_i,  где  p₁ > p₂ > ... > p₁₀₁  – простые числа, а простые числа q_i выбираются так, что  q₁ > p₁,  q_i+1 > p_iq_i.

Ответ

Существуют.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2001/2002
Номер	23
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	1