|
|
 |
Условие
На плоскости даны три красные точки, три синие точки и ещё точка O, лежащая как внутри треугольника с красными вершинами, так и внутри треугольника с синими вершинами, причём расстояние от O до любой красной точки меньше расстояния от O до любой синей точки. Могут ли все красные и все синие точки лежать на одной и той же окружности?
Решение
Предположим, что удалось разместить все красные и все синие точки на окружности Ω. По условию можно построить такую окружность ω с центром O, что красные точки лежат внутри, а синие – вне ω. Окружности Ω и ω, очевидно, пересекаются в некоторых точках A и B. Тогда все красные точки находятся на дуге Ω, лежащей внутри ω, а все синие – на дуге, лежащей вне ω. Эти дуги находятся по разные стороны от прямой AB, следовательно, треугольники с вершинами в красных и синих точках не пересекаются. Противоречие.
Ответ
Не могут.
Замечания
4 балла
