|
|
 |
Условие
Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 64 так, что соседние номера стоят в соседних (по стороне) клетках.
Какова наименьшая возможная сумма номеров на диагонали?
Решение
Оценка. Рассмотрим числа a1 < a2 < ... < a8, стоящие на чёрной диагонали (конечно, на диагонали они могут стоять не по порядку). Тогда a1 ≥ 1, a2 ≥ 3, a3 ≥ 5, ..., a7 ≥ 13. Докажем, что a8 ≥ 39.
Предположим, что числа в клетки доски вписывались в порядке их возрастания. Тогда в тот момент, когда на диагональ вписывалось восьмое число, покидаемая половина доски была заполнена (ибо в неё уже не возвращались). Эта половина (включая диагональ) содержит 36 клеток: 16 белых и 20 чёрных. Но при заполнении доски белые и чёрные клетки чередуются. Поэтому к этому моменту были заполнены ещё как минимум три белые клетки в другой половине доски, то есть всего было заполнено не меньше 39 клеток.
1 + 3 + 5 + ... + 13 + 39 = 88.
Пример изображён на рисунке.
Ответ
88.
Замечания
6 баллов
