ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98558
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Разложение на множители ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Для натуральных чисел x и y число  x² + xy + y²  в десятичной записи оканчивается нулем. Докажите, что оно оканчивается хотя бы двумя нулями.


Решение

x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)  делится на 10. Поэтому у чисел x³ и y³ одинаковые последние цифры. Значит, и у чисел x и y последние цифры одинаковы (нетрудно проверить, что последние цифры чисел 0³, 1³, ..., 9³ различны). Следовательно, одинаковы последние цифры чисел x², xy и y², то есть последняя цифра числа   x² + xy + y²  (равная 0) такая же, как у 3x². Поэтому x (а вместе с ним и y) делится на 10. Значит,  x² + xy + y²  делится на 100.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 5, 10-11 кл. – 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .