ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98559
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Стороны AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD касаются некоторой окружности в точках K, L, M и N соответственно, S – точка пересечения отрезков KM и LN. Известно, что вокруг четырёхугольника SKBL можно описать окружность. Докажите, что вокруг четырёхугольника SNDM также можно описать окружность.


Решение

Обозначим через α, β, γ и δ вписанные углы, опирающиеся соответственно на дуги NK, KL, LM и MN. Ясно, что  α + β + γ + δ = 180°.
BLS = ∠BLN = α + β  (BLN – угол между хордой и касательной). Аналогично  ∠BKS = β + γ,  ∠DMS = α + δ,  ∠DNS = γ + δ.  Отсюда видно, что сумма этих четырёх углов равна  2(α + β + γ + δ) = 360°.  Поскольку четырёхугольник SKBL вписанный,  ∠BLS + ∠BKS = 180°.  Поэтому и
DMS + ∠DNS = 180°,  то есть четырёхугольник SNDM вписанный.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .