ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98583
Темы:    [ Симметричная стратегия ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На столе лежат 2002 карточки с числами 1, 2, 3,... , 2002. Двое играющих берут по одной карточке по очереди. После того, как будут взяты все карточки, выигравшим считается тот, у кого больше последняя цифра суммы чисел на взятых карточках. Выясните, кто из играющих может всегда выигрывать независимо от игры противника, и объясните, как он должен при этом играть.


Решение

  Ясно, что на результат влияют только последние цифры написанных на карточках чисел. Поэтому можно считать, что имеется по 200 карточек с цифрами 3, ..., 9, 0 и по 201 карточке с цифрами 1 и 2. Первый может сначала взять карточку с цифрой 2, а затем повторять ходы второго, пока это возможно. В момент, когда он не сможет повторить ход второго (после того, как второй возьмёт последнюю карточку с цифрой 1), первый берёт любую из оставшихся карточек, а далее снова повторяет ходы второго. И т. д. В результате в конце у обоих карточек каждого типа будет поровну, кроме карточек с цифрами 1 и 2: у первого будет на одну карточку с двойкой больше и на одну карточку с единицей меньше.
  Поскольку сумма  100·(0 + 1 + … + 9)  оканчивается нулём, то сумма первого оканчивается двойкой, а второго – единицей.


Ответ

Первый.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2002/2003
Номер 24
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .