ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98588
Темы:    [ Тригонометрические неравенства ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Колосов В.

Пусть x, y, z – любые числа из интервала  (0, π/2).  Докажите неравенство  


Решение

  Несложно преобразовать исходное неравенство к равносильному:   (x – y)(cos x – cos y) + (x – z)(cos x – cos z) +(y – z)(cos y – cos z) ≤ 0.
  Последнее верно, поскольку в силу убывания косинуса каждое из трёх слагаемых неположительно.

Замечания

1. Для знатоков. Доказываемое неравенство – частный случай неравенства Чебышёва (см. задачу 61386) при  n = 3,  x1 = x,  x2 = y,  x3 = z,  y1 = – cos x,
y
2 = – cos y,  y3 = – cos z.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2002/2003
Номер 24
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .