ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98608
Темы:    [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли замостить доску 2003×2003 доминошками 1×2, которые разрешается располагать только горизонтально, и прямоугольниками 1×3, которые разрешается располагать только вертикально? (Две стороны доски условно считаются горизонтальными, а две другие – вертикальными.)


Решение 1

Запишем во все клетки нечётных столбцов цифру 1, а во все клетки чётных столбцов – цифру 2. Сумма цифр в каждом прямоугольнике 1×2 или 3×1 кратна 3. Но сумма цифр на всей доске не кратна 3. Поэтому разбить её на такие прямоугольники нельзя.


Решение 2

Пусть замощение возможно. Поскольку доска содержит нечётное число клеток, в нём участвует нечётное число прямоугольников 3×1. Окрасим в чёрный цвет 1-ю, 4-ю, 7-ю, ..., 2002-ю горизонтали доски (через две) – всего 668 горизонталей. Количество чёрных клеток чётно. Но каждый прямоугольник 1×2 содержит чётное число чёрных клеток (0 или 2), а каждый прямоугольник 3×1 – ровно одну чёрную клетку, то есть общее число чёрных клеток нечётно. Противоречие.


Ответ

Нельзя.

Замечания

1. Аналогично можно придти к противоречию, закрасив вертикали через одну.

2. Уменьшив все горизонтальные размеры вдвое, а вертикальные – втрое, мы придём к частному случаю задачи 58262.

3. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2002/2003
Номер 24
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .