Задача 98615

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

Дан треугольник ABC. В нём R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, a – длина наибольшей стороны, h – длина наименьшей высоты. Докажите, что  ^R/_r > ^a/_h.

Решение

Очевидно,  2R ≥ a  (диаметр описанной окружности не меньше стороны) и  2r < h  (диаметр вписанной окружности меньше высоты). Отсюда
^R/_r = ^2R/_2r ≥ ^a/_2r > ^a/_h.

Замечания

1. 4 балла.

2. Ср. с задачей 98620.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2002/2003
Номер	24
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2