ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98620
Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Сфера, описанная около тетраэдра ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана треугольная пирамида ABCD. В ней R – радиус описанной сферы, r – радиус вписанной сферы, a – длина наибольшего ребра, h – длина наименьшей высоты (на какую-то грань). Докажите, что  R/r > a/h.


Решение

Очевидно,  2R ≥ a  (диаметр описанной сферы не меньше ребра) и  2r < h  (диаметр вписанной сферы меньше высоты). Отсюда получаем
R/r = 2R/2ra/2r > a/h.

Замечания

1. 4 балла.

2. Ср. с задачей 98615.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2002/2003
Номер 24
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .