ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98626
Темы:    [ Разные задачи на разрезания ]
[ Четность и нечетность ]
[ Инварианты ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри квадрата отметили несколько точек и соединили их отрезками между собой и с вершинами квадрата так, чтобы отрезки не пересекались друг с другом (нигде кроме концов). В результате квадрат разделился на треугольники, так что все отмеченные точки оказались в вершинах треугольников, и ни одна не попала на стороны треугольников. Для каждой отмеченной точки и для каждой вершины квадрата подсчитали число проведённых из неё отрезков. Могло ли так случиться, что все эти числа оказались чётными?


Решение

  Вершины квадрата также будем считать отмеченными, а стороны – "проведёнными" отрезками. Пусть из каждой отмеченной точки выходит чётное число отрезков.
  1) Повернём картинку так, чтобы среди сторон треугольников не было вертикальных. Возьмём внутри треугольника разбиения произвольную точку и выпустим из неё луч вверх. Когда на луче нет отмеченных точек, назовём степенью луча число пересечённых им отрезков.
  Докажем, что степени всех выпущенных из треугольника T лучей имеют одну чётность. Для доказательства будем двигать луч l так, чтобы его начало двигалось от самой левой вершины треугольника T к самой правой. Степень l меняется, только когда l проходит через какую-то отмеченную точку K. Отрезки из K выходят одни налево, другие направо; l всегда пересекает ровно одну из этих групп. Но всего из K выходит чётное число отрезков, поэтому чётности групп одинаковы, и значит, чётность степени l не изменяется.
  Назовём чётностью треугольника чётность степени любого выпущенного из него луча (согласно предыдущему абзацу определение корректно).
  2) Ясно, что треугольники с общей стороной имеют разную чётность. А все треугольники, примыкающие к сторонам исходного квадрата, нечётны (достаточно рассмотреть луч из точки, "близкой" к самой левой или самой правой вершине квадрата).
  Отсюда следует, что нечётные треугольники в совокупности имеют на 4 стороны больше, чем чётные. Но это невозможно: число сторон треугольников каждой чётности в три раза больше числа таких треугольников, то есть кратно 3.


Ответ

Не могло.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2002/2003
Номер 24
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .