Версия для печати
Убрать все задачи

---

Сто сидений карусели расположены по кругу через равные промежутки. Каждое покрашено в жёлтый, синий или красный цвет. Сиденья одного и того же цвета расположены подряд и пронумерованы 1, 2, 3, ... по часовой стрелке. Синее сиденье № 7 противоположно красному № 3, а жёлтое № 7 — красному № 23. Найдите, сколько на карусели жёлтых сидений, сколько синих и сколько красных.

   Решение

---

Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии,— параллелограмм.

   Решение

---

В четырёхугольнике ABCD точки K , L , M , N – середины сторон соответственно AB , BC , CD , DA . Прямые AL и CK пересекаются в точке P , прямые AM и CN – пересекаются в точке Q . Оказалось, что APCQ – параллелограмм. Докажите, что ABCD – тоже параллелограмм.

   Решение

---

Точки K и L – середины сторон АВ и ВС правильного шестиугольника АВСDEF. Отрезки KD и LE пересекаются в точке М. Площадь треугольника DEM равна 12. Найдите площадь четырёхугольника KBLM.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109609  (#95.5.9.2)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Паскаля ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Хорда CD окружности с центром O перпендикулярна ее диаметру AB, а хорда AE делит пополам радиус OC.
Докажите, что хорда DE делит пополам хорду BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109610  (#95.5.9.3)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Известно, что  f(x), g(x) и h(x) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение  f(g(h(x)))  = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109611  (#95.5.9.4)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Можно ли в клетки таблицы 9×9 записать натуральные числа от 1 до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 3×3 была одна и та же?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109612  (#95.5.9.5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Периодические и непериодические дроби ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108195  (#95.5.9.6)

Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10,11

Точки A2 , B2 и C2 – середины высот AA1 , BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC . Найдите сумму углов B2A1C2 , C2B1A2 и A2C1B2 .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями