Версия для печати
Убрать все задачи

---

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109792  (#03.5.9.6)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Классические неравенства (прочее) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109793  (#03.5.9.7)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 7,8,9

Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных  m, n > 100  сумма чисел в любом прямоугольнике m×n клеток делилась на  m + n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109794  (#03.5.9.8)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Радикальная ось ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На сторонах AP и PD остроугольного треугольника APD выбраны соответственно точки B и C. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Q. Точки H₁ и H₂ являются ортоцентрами треугольников APD и BPC соответственно. Докажите, что если прямая H₁H₂ проходит через точку X пересечения описанных окружностей треугольников ABQ и CDQ, то она проходит и через точку Y пересечения описанных окружностей треугольников BQC и AQD.
(X ≠ Q,  Y ≠ Q.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109780  (#03.5.10.1)

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Тождественные преобразования ] [ Теория множеств (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108126  (#03.5.10.2)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Признаки подобия ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть описанные окружности S₁ и S₂ треугольников ABO и CDO второй раз пересекаются в точке K. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB и CD, вторично пересекают S₁ и S₂ в точках L и M соответственно. На отрезках OL и OM выбраны соответственно точки P и Q, причём  OP : PL = MQ : QO.  Докажите, что точки O, K, P, Q лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями