Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 111878 (#08.5.11.1)

Темы:	[	Кубические многочлены	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Терешин Д.А.

Числа a, b, c таковы, что уравнение x³ + ax² + bx + c = 0 имеет три действительных корня. Докажите, что если –2 ≤ a + b + c ≤ 0, то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку [0, 2].

Прислать комментарий Решение

Задача 111862 (#08.5.11.2)

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Пете и Васе подарили одинаковые наборы из N гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение N.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111863 (#08.5.11.3)

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Сендеров В.А.

Дано конечное множество простых чисел P. Докажите, что найдётся такое натуральное число x , что оно представляется в виде x = a^p + b^p (с натуральными a, b) при всех p ∈ P и не представляется в таком виде для любого простого p ∉ P.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111864 (#08.5.11.4)

Темы:	[	Шар и его части	]
	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Объем помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с объемами	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Карасев Р.

Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса 1 . Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар радиуса .

Прислать комментарий Решение

Задача 111865 (#08.5.11.5)

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Подлипский О.К.

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]