Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 176]

Задача 56891 (#05.054.1)

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56892 (#05.055)

Темы:	[	Треугольники (прочее)	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что AB₁ : B₁C = cⁿ : aⁿ, BC₁ : C₁A = aⁿ : bⁿ и CA₁ : A₁B = bⁿ : cⁿ (a, b, c – длины сторон треугольника). Описанная окружность треугольника A₁B₁C₁ высекает на сторонах треугольника ABC отрезки длиной ±x, ±y и ±z (знаки выбираются в соответствии с ориентацией треугольника). Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

Задача 56893 (#05.056)

[Теорема Морли]

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC проведены триссектрисы (лучи, делящие углы на три равные части). Ближайшие к стороне BC триссектрисы углов B и C пересекаются в точке A₁; аналогично определим точки B₁ и C₁ (см. рис.). Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56894 (#05.057)

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Вневписанные окружности	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁ с углами α, β и γ при основаниях, причём α + β + γ = 60°. Прямые BC₁ и B₁C пересекаются в точке A₂, AC₁ и A₁C – в точке B₂, AB₁ и A₁B – в точке C₂. Докажите, что углы треугольника A₂B₂C₂ равны 3α, 3β и 3γ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56895 (#05.057.1)

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Окружность радиуса u_a вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса u_b вписана в угол B; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами равен где p – полупериметр треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 176]