Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 5. Треугольники
>>
параграф 12. Точки Брокара
Фильтр
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи
Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O — центр его описанной окружности, A1, B1 и C1 — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что
A1B1C1 
ABC и O — первая точка
Брокара треугольника A1B1C1.
Решение
Убрать все задачи
Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O — центр его описанной окружности, A1, B1 и C1 — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что
Решение
Задачи
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]
а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует
такая точка P, что
ABP = CAP = BCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники CA1B, CAB1 и C1AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).
а) Через точку Брокара P треугольника ABC
проведены прямые AP, BP и CP, пересекающие описанную окружность в
точках A1, B1 и C1. Докажите,
что
ABC = B1C1A1.
б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью отличны от точек A, B и C.)
а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC.
Угол
= 
ABP = BCP = CAP называется углом Брокара
этого треугольника. Докажите, что
ctg = ctg
+ ctg
+ ctg
.
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A1. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A1AC.
а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника
не превосходит
30o.
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит 30o.
Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O — центр его описанной окружности, A1, B1 и C1 — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите,
что
A1B1C1 ABC и O — первая точка
Брокара треугольника A1B1C1.
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]
Задача 56967 |
|
|
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники CA1B, CAB1 и C1AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).
|
|
Решение |
Задача 56968 |
|
|
б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью отличны от точек A, B и C.)
|
|
|
Решение |
Задача 56969 |
|
|
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A1. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A1AC.
|
|
|
Решение |
Задача 56970 |
|
|
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит 30o.
|
|
|
Решение |
Задача 56971 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]
