Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 64448 (#1)

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Авторы: Жуков Г., Косинов Н.

Есть 100 красных, 100 жёлтых и 100 зелёных палочек. Известно, что из любых трёх палочек трёх разных цветов можно составить треугольник.
Докажите, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64449 (#2)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Авилов Н.И.

Учитель выбрал 10 подряд идущих натуральных чисел и сообщил их Пете и Васе. Каждый мальчик должен разбить эти 10 чисел на пары, подсчитать произведение чисел в каждой паре, а затем сложить полученные пять произведений. Докажите, что мальчики могут сделать это так, чтобы разбиения на пары у них не были одинаковыми, но итоговые суммы совпадали.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64450 (#3)

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Гордин Р.К.

В треугольнике ABC угол C прямой. На катете CB как на диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, точка N – середина этой полуокружности. Докажите, что прямая AN делит пополам биссектрису CL.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64451 (#4)

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Петя нарисовал на плоскости квадрат, разделил на 64 одинаковых квадратика и раскрасил их в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. После этого он загадал точку, находящуюся строго внутри одного из этих квадратиков. Вася может начертить на плоскости любую замкнутую ломаную без самопересечений и получить ответ на вопрос, находится ли загаданная точка строго внутри ломаной или нет. За какое наименьшее количество таких вопросов Вася может узнать, какого цвета загаданная точка – белого или чёрного?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64452 (#5)

Темы:	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

В окружность вписан 101-угольник. Из каждой его вершины опустили перпендикуляр на прямую, содержащую противоположную сторону.
Докажите, что хотя бы у одного из перпендикуляров основание попадёт на сторону (а не на её продолжение).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]