Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]

Задача 67187 (#5)

Темы:	[	Разрезания (прочее)	]
	[	Параллелограммы (прочее)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Юран А.Ю.

Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 67188 (#6)

Темы:	[	Троичная система счисления	]
	[	Числовые последовательности (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Бутырин Б.

Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ и при $n > 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023} \leqslant 100\,000$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67189 (#1)

Темы:	[	Модуль числа (прочее)	]
Темы:	[	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Доледенок А.В.

Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. $$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.

Прислать комментарий Решение

Задача 67190 (#2)

Тема:

[

Текстовые задачи (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Неустроева Е.

В эстафетном забеге Москва—Петушки участвовали две команды по $20$ человек. Каждая из команд по-своему разделила дистанцию на $20$ не обязательно равных отрезков и распределила их между участниками так, чтобы каждый бежал ровно один отрезок (скорость каждого участника постоянна, но скорости разных участников могут быть различны). Первые участники обеих команд стартовали одновременно, а передача эстафеты происходит мгновенно. Какое максимальное количество обгонов могло быть в таком забеге? Опережение на границе этапов обгоном не считается.

Прислать комментарий Решение

Задача 67185 (#3)

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Бродский Д.Ю.

Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]