ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Дан треугольник ABC и точка O. M1, M2, M3 — центры тяжести треугольников OAB, OBC, OCA соответственно. Доказать, что площадь треугольника M1M2M3 равна 1/9 площади ABC.

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



Задача 78243

Темы:   [ Псевдоскалярное произведение ]
[ Вычисление площадей ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Дан треугольник ABC и точка O. M1, M2, M3 — центры тяжести треугольников OAB, OBC, OCA соответственно. Доказать, что площадь треугольника M1M2M3 равна 1/9 площади ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78255

Темы:   [ Векторы (прочее) ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
Сложность: 3+
Классы: 11

Известно, что Z1 + ... + Zn = 0, где Zk — комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна 120o.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78262

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Средняя линия трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности с радиусами r1, r2, r3, r4, причём r1 + r3 = r2 + r4 < d; d — диагональ прямоугольника. Проводятся две пары внешних касательных к окружностям 1, 3 и 2, 4. Доказать, что в четырёхугольник, образованный этими четырьмя прямыми, можно вписать окружность.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78264

Темы:   [ Векторы (прочее) ]
[ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Комплексные числа в геометрии ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Точки A и B движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям O1 и O2 соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина C правильного треугольника ABC также движется равномерно по некоторой окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78240

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Дан остроугольный треугольник A0B0C0. Пусть точки A1, B1, C1 — центры квадратов, построенных на сторонах B0C0, C0A0, A0B0. С треугольником A1B1C1 делаем то же самое. Получаем треугольник A2B2C2 и т.д. Доказать, что $ \Delta$An + 1Bn + 1Cn + 1 пересекает $ \Delta$AnBnCn ровно в 6 точках.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .