Страница:
<< 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]
Одна под другой выписаны 2n–1 различных последовательностей из нулей и единиц длины n. Известно, что для любых трёх из выписанных последовательностей найдётся такой номер p, что в p-м разряде у всех трёх стоит 1. Доказать, что в некотором разряде у всех выписанных последовательностей стоит 1 и такой разряд только один.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых
президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых
только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии).
Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет,
чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают представителя группы "выборщика" для голосования в большей группе: выборщики в этой большей группе выбирают выборщика для голосования в ещё большей группе и т.д. Наконец, представители самых больших групп выбирают президента. Мирафлорес делит избирателей на группы по своей воле и инструктирует своих сторонников, как им голосовать. Сможет ли он так организовать "демократические" выборы, чтобы его выбрали? (В каждой группе выборщики выбирают своего представителя простым большинством. При равенстве голосов побеждает оппозиция.)
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Дан отрезок AB. Найдите на плоскости множество таких точек C,
что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна
высоте, проведённой из вершины B.
Дан треугольник ABC, который можно накрыть одним пятаком.
Постройте с помощью пятака четвёртую вершину параллелограмма
ABCD (пятак разрешается прикладывать к любым двум точкам и
обводить карандашом).
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Два мудреца играют в следующую игру. Выписаны числа 0, 1, 2,..., 1024. Первый
мудрец зачёркивает 512 чисел (по своему выбору), второй зачёркивает 256 из
оставшихся, затем снова первый зачёркивает 128 чисел и т.д. На десятом шаге
второй мудрец зачёркивает одно число; остаются два числа. После этого
второй мудрец платит первому разницу между этими числами. Как выгоднее играть
первому мудрецу? Как второму? Сколько уплатит второй мудрец первому, если оба
будут играть наилучшим образом? (Ср. с задачей
78710 и с задачей
78716.)
Страница:
<< 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]
Фильтр
Решение 
