Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 61543

Темы:	[	Задачи-шутки	]
Темы:	[	Ряды (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10,11

Обозначим через S сумму следующего ряда:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...

(12.1)

Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S $\displaystyle \Rightarrow$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Сумму S можно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1 ) в пары:

S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0;

S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1.

Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение S:

S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1.

Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значения суммы S:

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 0 = 1 = - 1.

Какое же значение имеет сумма S в действительности?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60427

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Ряды (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Найдите суммы рядов

а)

б)

в) (r ≥ 2).

Прислать комментарий

Решение

Задача 88296

Темы:	[	Классические неравенства	]
Темы:	[	Ряды с неотрицательными членами	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Найдется ли такое n, при котором ? А больше 1000?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60549

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
Темы:	[	Ряды (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 11

Может ли быть так, что а) σ(n) > 3n; б) σ(n) > 100n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116701

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Ряды с неотрицательными членами	]

Сложность: 5
Классы: 11

Автор: Бердников А.

Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа S найдутся прямоугольники суммарной площади больше S.
а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения?
б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]