Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 61]
|
|
Сложность: 3+ Классы: 7,8,9
|
В четырёхугольнике ABCD углы A и C равны. Биссектриса
угла B пересекает прямую AD в точке P. Перпендикуляр к BP, проходящий через точку A, пересекает прямую BC в точке Q. Докажите, что прямые PQ и CD параллельны.
Из вершин произвольного выпуклого четырёхугольника опущены перпендикуляры на его диагонали.
Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, подобен исходному.
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают сторону AD в точках X
и Y соответственно, причём X лежит между A и Y.
Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны.
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10
|
Пусть
ABCD — выпуклый четырехугольник,
K,
L,
M и
N —
середины сторон
AB,
BC,
CD и
DA. Докажите, что точка пересечения
отрезков
KM и
LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10,11
|
С выпуклым четырехугольником
ABCD проделывают следующую операцию: одну из данных вершин меняют на точку, симметричную этой вершине относительно серединного перпендикуляра к диагонали (концом которой она не является), обозначив новую точку прежней буквой. Эту операцию последовательно применяют к вершинам
A,
B,
C,
D,
A,
B,... - всего
n раз. Назовем четырехугольник допустимым, если его стороны попарно различны и после применения любого числа операций он остается выпуклым. Существует ли:
а) допустимый четырехугольник, который после
n<5 операций становится равным исходному;
б) такое число
n0, что любой допустимый четырехугольник после
n=
n0 операций становится равным исходному?
Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 61]