Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.
Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке [–2, 2].
Точки A′, B′, C′ соответственно симметричны вершинам A, B, C относительно противоположных сторон треугольника ABC. Докажите, что окружности AB′C′, A′BC′ и A′B′C пересекаются в одной точке.
Даны три попарно различные точки на прямой. Сколько существует равнобедренных треугольников, в которых они являются (в каком-нибудь порядке) центрами описанной, вписанной и вневписанной окружностей?
Докажите тождество
| (ax + by + cz + du)2 + (bx + cy + dz + au)2 + (cx + dy + az + bu)2 + | |
| + (dx + ay + bz + cu)2 = | |
| = (dx + cy + bz + au)2 + (cx + by + az + du)2 + (bx + ay + dz + cu)2 + | |
| + (ax + dy + cz + bu)2. |
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA, BHB, CHC. Пусть X – произвольная точка отрезка CHC, а P – точка пересечения окружностей с диаметрами HCX и BC, отличная от HC. Прямые CP и AHA пересекаются в точке Q, а прямые XP и AB – в точке R. Докажите, что точки A, P, Q, R, HB лежат на одной окружности.
Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 4, и на 5, и на 6 кучек равной массы?
По окружности выписаны n чисел x1, x2, ..., xn, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого k = 1, 2, ..., n – 1 сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю
(то есть x1x2 + x2x3 + ... + xnx1 = 0,
x1x3 + x2x4 + ... + xnx2 = 0, x1x4 + x2x5 + ... + xnx3 = 0 и так далее; например, для n = 4 можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1).
а) Докажите, что n – квадрат целого числа.
б)* Существует ли такой набор чисел для n = 16?
Биссектрисы AI и CI пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A1, C1 соответственно. Описанная окружность треугольника AIC1 пересекает сторону AB в точке C0; аналогично определим A0. Докажите, что точки A0, A1, C0, C1 лежат на одной прямой.
Задачи Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
Задача 66038 |
|
|
Для тестирования новой программы компьютер выбирает случайное действительное число A из отрезка [1, 2] и заставляет программу решать уравнение 3x + A = 0. Найдите вероятность того, что корень этого уравнения меньше чем –0,4.
|
|
Решение |
Задача 65278 |
|
|
Коля и Женя договорились встретиться в метро в первом часу дня. Коля приходит на место встречи между полуднем и часом дня, ждёт 10 минут и уходит. Женя поступает точно так же.
а) Какова вероятность того, что они встретятся?
б) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти раньше половины первого, а Коля по-прежнему – между полуднем и часом?
в) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти в произвольное время с 12.00 до 12.50, а Коля по-прежнему между 12.00 и 13.00?
|
|
|
Решение |
Задача 65305 |
|
|
Верхняя сторона бумажного квадрата белая, а нижняя – красная. В квадрате случайным образом выбирается точка F. Затем квадрат сгибают так, чтобы одна случайно выбранная вершина наложилась на точку F. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося красного многоугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 65314 |
|
|
Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги ABCD. Митя называет сгиб красивым, если сторона AB пересекает сторону CD и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны. Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку F. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку F.
|
|
|
Решение |
Задача 65772 |
|
|
В треугольнике ABC угол A равен 40°. Треугольник случайным образом бросают на стол.
Найдите вероятность того, что вершина A окажется восточнее двух других вершин.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
