Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 54]

Задача 78051

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа $\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$ ${\frac{1}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$ , $\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$ ${\frac{2}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$ , ..., $\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$ ${\frac{M}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$ тоже различны между собой. Найти все такие a.

Прислать комментарий Решение

Задача 97790

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Раскладки и разбиения	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Кисиль В.В.

Докажите для каждого натурального числа n > 1 равенство: [n^1/2] + [n^1/3] + ... + [n^1/n] = [log_₂n] + [log_₃n] + ... + [log_nn].

Прислать комментарий

Решение

Задача 109704

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Храбров А.

Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 107992

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Владимиров А.А., Измайлов Р.Н.

Для каждой пары действительных чисел a и b рассмотрим последовательность чисел p_n = [2{an + b}]. Любые k подряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длины k будет словом последовательности, заданной некоторыми a и b при k = 4; при k = 5?

Примечание: [c] - целая часть, {c} - дробная часть числа c.

Прислать комментарий Решение

Задача 35708

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Неопределено	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Положительные иррациональные числа a и b таковы, что 1/a+1/b=1. Докажите, что среди чисел [ma], [nb] каждое натуральное число встречается ровно один раз.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 54]