ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Комбинаторная геометрия >> Системы точек и отрезков
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

У равнобедренного треугольника стороны равны 3 и 7. Какая из сторон является основанием?

Вниз   Решение

Докажите, что из всех хорд, проходящих через точку A, взятую внутри круга и отличную от центра, наименьшей будет та, которая перпендикулярна диаметру, проходящему через точку A.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Найдите x 3 + y3, если известно, что x + y = 5 и x + y + x2y + xy2 = 24.

ВверхВниз   Решение

На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что все углы, образованные сторонами и диагоналями правильного n-угольника, кратны  180°/n.

ВверхВниз   Решение

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60o . Найдите площадь сечения, проведённого через вершину пирамиды и меньшую диагональ основания.

ВверхВниз   Решение

Автор: Новиков В. В.

Из шести палочек попарно различной длины сложены два треугольника (по три палочки в каждом). Всегда ли можно сложить из них один треугольник, стороны которого состоят из одной, двух и трех палочек соответственно?

ВверхВниз   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой данный круг и данный отрезок видны под данными углами.

ВверхВниз   Решение

Автор: Слободник С.Г.

Прямоугольная проекция треугольной пирамиды на некоторую плоскость имеет максимально возможную площадь.
Докажите, что эта плоскость параллельна либо одной из граней, либо двум скрещивающимся ребрам пирамиды.

ВверхВниз   Решение

Пусть  f(x) = x² + px + q.  При каких p и q выполняются равенства  f(p) = f(q) = 0?

ВверхВниз   Решение

В поселке 20 жительниц. 1 марта одна из них узнала интересную новость и сообщила её всем своим подругам. 2 марта те сообщили новость всем своим подругам, и так далее. Может ли так случиться, что:
  а) 15 марта ещё не все жительницы будут знать новость, а 18 марта уже все?
  б) 25 марта ещё не все жительницы будут знать новость, а 28 марта уже все?

ВверхВниз   Решение

Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S1 касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N. Докажите, что:
а) прямая MN проходит через середину P второй дуги;
б) длина касательной PQ к окружности S1 равна PA.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Ганин Я., Rideau F.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD . A' , B' , C' , D' – ортоцентры треугольников BCD , CDA , DAB , ABC . Докажите, что в четырехугольниках ABCD и A'B'C'D' соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 298]      

  с решениями  

Задача 57802

Тема:   [ Трилинейные координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

а) Докажите, что в трилинейных координатах любая окружность задается уравнением вида

(px + qy + rz)(x sin$\displaystyle \alpha$ + y sin$\displaystyle \beta$ + z sin$\displaystyle \gamma$) = yz sin$\displaystyle \alpha$ + xz sin$\displaystyle \beta$ + xy sin$\displaystyle \gamma$.


б) Докажите, что радикальная ось двух окружностей, заданных уравнениями такого вида, задается уравнением

p1x + q1y + r1z = p2x + q2y + r2z.


Прислать комментарий     Решение

Задача 57803

Тема:   [ Трилинейные координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Докажите, что касательная к вписанной окружности в точке (x0 : y0 : z0) задается уравнением

$\displaystyle {\frac{x}{\sqrt{x_0}}}$cos$\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$ + $\displaystyle {\frac{y}{\sqrt{y_0}}}$cos$\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ + $\displaystyle {\frac{z}{\sqrt{z_0}}}$cos$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ = 0.


Прислать комментарий     Решение

Задача 76548

Тема:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

Расположите (На плоскости — прим. ред.) 4 точки так, чтобы при измерении всех попарных расстояний между ними получалось только два различных числа. Отыщите все такие расположения.
Прислать комментарий     Решение

Задача 109783

Темы:   [ Системы точек ]
[ Покрытия ]
[ Свойства параллельного переноса ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

Авторы: Дольников В.Л., Карасев Р.

На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .
Прислать комментарий     Решение

Задача 110795

Темы:   [ Теорема о группировке масс ]
[ Гомотетичные многоугольники ]
[ Теорема синусов ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Авторы: Ганин Я., Rideau F.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD . A' , B' , C' , D' – ортоцентры треугольников BCD , CDA , DAB , ABC . Докажите, что в четырехугольниках ABCD и A'B'C'D' соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 298]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .