Каталог по темам

Задачи

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 122]

Задача 64813

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Зерцалов А., Скробот Д.

Даны окружность, её хорда AB и середина W меньшей дуги AB. На большей дуге AB выбирается произвольная точка C. Касательная к окружности, проведённая из точки C, пересекает касательные, проведённые из точек A и B, в точках X и Y соответственно. Прямые WX и WY пересекают прямую AB в точках N и M соответственно. Докажите, что длина отрезка NM не зависит от выбора точки C.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67079

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Марданов А.

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности Ω треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $B$ и не пересекающую прямую $AC$. Отметим на ω точки $P$ и $Q$ так, чтобы прямые $AP$ и $CQ$ касались ω, а отрезки $AP$ и $CQ$ пересекались внутри треугольника $ABC$. Докажите, что все полученные таким образом прямые $PQ$ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116087

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Терешин Д.А.

На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть C₁ – более удалённая от вершины C точка пересечения окружностей, построенных на медианах AM₁ и BM₂. Точки A₁ и B₁ определяются аналогично. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66675

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Науменко Г.

Дан треугольник $ABC$ и окружность $\gamma$ с центром в точке $A$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$. Пусть общая хорда описанной окружности треугольника и окружности $\gamma$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $BY$ пересекают $\gamma$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ACT$ и $BAS$ пересекаются в точках $A$ и $P$. Докажите, что прямые $CX$, $BY$, и $AP$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 64342

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Ивлев Ф.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и BQ, а также медиана CM. Точка R – середина CM. Прямая PQ пересекает прямую AB в точке T. Докажите, что OR⊥TC, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 122]