Каталог по темам

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 102]

Задача 60570

[Делимость чисел Фибоначчи]

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Докажите справедливость следующих утверждений:
а) 2 | F_n ⇔ 3 | n;
б) 3 | F_n ⇔ 4 | n;
в) 4 | F_n ⇔ 6 | n;
г) F_m | F_n ⇔ m | n при m > 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60571

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого натурального m существует число Фибоначчи F_n (n ≥ 1), кратное m.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78297

Темы:	[	Текстовые задачи (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Школьник в течение учебного года должен решать ровно по 25 задач за каждые идущие подряд 7 дней. Время, необходимое на решение одной задачи (любой), не меняется в течение дня, но меняется в течение учебного года по известному школьнику закону и всегда меньше 45 минут. Школьник хочет затратить на решение задач в общей сложности наименьшее время. Доказать, что для этого он может выбрать некоторый день недели и в этот день (каждую неделю) решать по 25 задач.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78581

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что последние цифры чисел nⁿ (n – натуральное) образуют периодическую последовательность.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78591

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Китайская теорема об остатках	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Доказать, что те натуральные K, для которых K^K + 1 делится на 30, образуют арифметическую прогрессию. Найти её.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 102]