Каталог по темам

Задачи

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 138]

Задача 73804

[Числа Стирлинга]

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Ясиновый Э.А.

Обозначим через T_k(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например,    T₂(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
   а) Найдите формулы для T₂(n) и T₃(n).
   б) Докажите, что T_k(n) является многочленом от n степени 2k.
   в) Укажите метод нахождения многочленов T_k(n) при k = 2, 3, 4, ... и примените его для отыскания многочленов T₄(n) и T₅(n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 66551

Темы:	[	Дроби (прочее)	]
	[	Вычисление площадей	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 3
Классы: 8

Автор: Мухин Д.Г.

На графике функции $y=1/x$ Миша отмечал подряд все точки с абсциссами 1, 2, 3, ..., пока не устал. Потом пришла Маша и закрасила все прямоугольники, одна из вершин которых — это отмеченная точка, еще одна — начало координат, а еще две лежат на осях (на рисунке показано, какой прямоугольник Маша закрасила бы для отмеченной точки $P$). Затем учительница попросила ребят посчитать площадь фигуры, состоящей из всех точек, закрашенных ровно один раз. Сколько получилось?

Прислать комментарий Решение

Задача 60708

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите справедливость следующих сравнений:
а) 1 + 2 + 3 + ... + 12 ≡ 1 + 2 + 2² + ... + 2¹¹ (mod 13);
б) 1² + 2² + 3² + ... + 12² ≡ 1 + 4 + 4² + ... + 4¹¹ (mod 13).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60726

[Гармонические числа]

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что числа H_n = 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ... + ¹/_n при n > 1 не будут целыми.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65342

Темы:	[	Дискретное распределение	]
	[	Средние величины	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит n носков. Среди них – два любимых носка Рассеянного Учёного. Носки загорожены сохнущей простыней, поэтому Учёный их не видит, и достаёт по одному носку на ощупь. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых Учёным к моменту, когда у него окажутся оба любимых носка.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 138]