Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан правильный 2n-угольник A₁A₁...A_2n с центром O, причём  n ≥ 5.  Диагонали A₂A_n–1 и A₃A_n пересекаются в точке F, а A₁A₃ и A₂A_2n–2 – в точке P.
Докажите, что  PF = PO.

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 181]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57088

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9

а) Правильный n-угольник A₁...A_n вписан в окружность радиуса 1 с центром O;  e_i = ,  u – произвольный вектор.
Докажите, что   (u, e_i)e_i = ½ nu.

б) Из произвольной точки X опущены перпендикуляры XC₁,..., XC_n на стороны правильного n-угольника (или на их продолжения).
Докажите, что     где O – центр n-угольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65690

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Четность и нечетность ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Можно ли отметить k вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если:  а) k = 6;   б) k ≥ 7?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65875

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дан правильный 2n-угольник A₁A₁...A_2n с центром O, причём  n ≥ 5.  Диагонали A₂A_n–1 и A₃A_n пересекаются в точке F, а A₁A₃ и A₂A_2n–2 – в точке P.
Докажите, что  PF = PO.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66255

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73681

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Раскраски ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

а) В вершинах правильного семиугольника расставлены чёрные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета,
лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольника?

в) Для каких правильных n-угольников аналогичное верно, а для каких – нет.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 181]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями