Версия для печати
Убрать все задачи
Квадрат
раскрашен в два цвета. Можно любой прямоугольник
перекрашивать в преобладающий в нем цвет. Доказать, что
такими операциями можно сделать весь квадрат одноцветным.
Решение
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны
a ,
b и
c . Найдите
угол между скрещивающимися диагоналями двух граней с общим ребром
a .
Решение
Докажите, что если диагонали четырехугольника
ABCD перпендикулярны,
то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами
сторон перпендикулярны.
Решение
Найдите последние две цифры в десятичной записи числа 1! + 2! + ... + 2001! + 2002!.
Решение
Решите в натуральных числах уравнение:
а) x² – y² = 31;
б) x² – y² = 303.
Решение
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же.
б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?
Решение
Даны точки A(-6, 1) и B(4, 6). Найдите координаты точки C, делящей отрезок AB в отношении 2 : 3, считая от точки A.
Решение
В треугольнике $ABC$ точки $M$, $N$ – середины сторон $AB$, $AC$ соответственно; серединный перпендикуляр к биссектрисе $AL$ пересекает биссектрисы углов $B$ и $C$ в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PM$ и $QN$ пересекаются на касательной к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$.
Решение
Фильтр
