Версия для печати
Убрать все задачи

---

P и Q – подмножества множества выражений вида  (a₁, a₂, ..., a_n),  где a_i – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа k (таких выражений всего kⁿ). Для каждого элемента  (p₁, ..., p_n)  множества P и каждого элемента  (q₁, ..., q_n)  множества Q существует хотя бы один такой номер m, что  p_m = q_m.  Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из k^n–1 элементов для
  а)  k = 2  и любого натурального n;
  б)  n = 2  и любого натурального  k > 1;
  в) произвольного натурального n и произвольного натурального  k > 1.

   Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 501]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65473

Темы:   [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Шеренга состоит из N ребят попарно различного роста. Её разбили на наименьшее возможное количество групп стоящих подряд ребят, в каждой из которых ребята стоят по возрастанию роста слева направо (возможны группы из одного человека). Потом в каждой группе переставили ребят по убыванию роста слева направо. Докажите, что после  N – 1  такой операции ребята будут стоять по убыванию роста слева направо.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65883

Темы:   [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

На прямой сидит конечное число лягушек в различных целых точках. За ход ровно одна лягушка прыгает на 1 вправо, причём они по-прежнему должны быть в различных точках. Мы вычислили, сколькими способами лягушки могут сделать n ходов (для некоторого начального расположения лягушек). Докажите, что если бы мы разрешили тем же лягушкам прыгать влево, запретив прыгать вправо, то способов сделать n ходов было бы столько же.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73673

Темы:   [ Сочетания и размещения ] [ Индукция (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Формула включения-исключения ] [ Производная и кратные корни ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

m и n – натуральные числа,  m < n.  Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73685

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Целочисленные решетки ] [ Индукция (прочее) ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

P и Q – подмножества множества выражений вида  (a₁, a₂, ..., a_n),  где a_i – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа k (таких выражений всего kⁿ). Для каждого элемента  (p₁, ..., p_n)  множества P и каждого элемента  (q₁, ..., q_n)  множества Q существует хотя бы один такой номер m, что  p_m = q_m.  Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из k^n–1 элементов для
  а)  k = 2  и любого натурального n;
  б)  n = 2  и любого натурального  k > 1;
  в) произвольного натурального n и произвольного натурального  k > 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79405

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Процессы и операции ] [ Теория графов (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

За круглым столом сидят n человек. Разрешается любых двух людей, сидящих рядом, поменять местами. Какое наименьшее число таких перестановок необходимо сделать, чтобы в результате каждые два соседа остались бы соседями, но сидели бы в обратном порядке?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 501]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями