Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]

Задача 78200

Тема:

[

Центр масс

]

Сложность: 3
Классы: 11

Пусть ABCD — пространственный четырёхугольник, точки K₁ и K₂ делят соответственно стороны AB и DC в отношении $\alpha$ , точки K₃ и K₄ делят соответственно стороны BC и AD в отношении $\beta$ . Доказать, что отрезки K₁K₂ и K₃K₄ пересекаются.

Прислать комментарий Решение

Задача 87073

Темы:	[	Центр масс	]
Темы:	[	Правильная пирамида	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Дана правильная треугольная пирамида PABC ( P – вершина) со стороной основания a и боковым ребром b ( b > a ). Сфера лежит над плоскостью основания ABC , касается этой плоскости в точке A и, кроме того, касается бокового ребра PB . Найдите радиус сферы.

Прислать комментарий Решение

Задача 116832

Темы:	[	Центр масс	]
	[	Хорды и секущие (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Митрофанов И.В.

а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.

б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник (n > 2), его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98228

Темы:	[	Центр масс	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Маркелов С.В.

Капитан нашёл Остров Сокровищ, имеющий форму круга. На его берегу растут шесть пальм. Капитан знает, что клад закопан в середине отрезка, соединяющего ортоцентры треугольников ABC и DEF, где A, B, C, D, E, F – эти шесть пальм, но он не знает, какой буквой обозначена каждая пальма. Докажите, что тем не менее он может найти клад с первой же попытки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108003

Темы:	[	Центр масс	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Маркелов С.В.

На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]