Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны три треугольника: A₁A₂A₃, B₁B₂B₃, C₁C₂C₃. Известно, что их центры тяжести (точки пересечения медиан) лежат на одной прямой, а никакие три из девяти вершин этих треугольников не лежат на одной прямой. Рассматриваются 27 треугольников вида A_iB_jC_k, где i, j, k независимо пробегают значения 1, 2, 3. Докажите, что эти 27 треугольников можно разбить на две группы так, что сумма площадей треугольников первой группы будет равна сумме площадей треугольников второй группы.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57080

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Момент инерции ]

Сложность: 3 Классы: 9

Правильный многоугольник  A₁...A_n вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка.
Докажите, что   A₁X² + ... + A_nX² = n(R² + d²),  где  d = OX.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108058

Темы:   [ Метод координат ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Центр масс ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон.
Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64518

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ] [ Центр масс ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 87082

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Сфера, касающаяся ребер тетраэдра ] [ Центр масс ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных рёбер.
Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98140

Темы:   [ Площадь треугольника (прочее) ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Центр масс ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Даны три треугольника: A₁A₂A₃, B₁B₂B₃, C₁C₂C₃. Известно, что их центры тяжести (точки пересечения медиан) лежат на одной прямой, а никакие три из девяти вершин этих треугольников не лежат на одной прямой. Рассматриваются 27 треугольников вида A_iB_jC_k, где i, j, k независимо пробегают значения 1, 2, 3. Докажите, что эти 27 треугольников можно разбить на две группы так, что сумма площадей треугольников первой группы будет равна сумме площадей треугольников второй группы.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями