Каталог по темам

Задачи

Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 598]

Задача 98247

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Логарифмические неравенства	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Приближения чисел	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Рассматривается последовательность, n-й член которой есть первая цифра числа 2ⁿ.
Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98442

Темы:	[	Двоичная система счисления	]
Темы:	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Канель-Белов А.Я.

Для каждого целого неотрицательного числа i определим число M(i) следующим образом: запишем число i в двоичной форме; если число единиц в этой записи чётно, то M(i) = 0, а если нечётно – то 1 (первые члены этой последовательности: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ... ).
а) Рассмотрим конечную последовательность M(0), M(1), ... , M(1000). Докажите, что число членов этой последовательности, равных своему правому соседу, не меньше 320.
б) Рассмотрим конечную последовательность M(0), M(1), ..., M(1000000). Докажите, что число таких членов последовательности, что M(i) = M(i + 7), не меньше 450000.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107838

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Последовательности (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109695

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Голованов А.С.

Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n ?

Прислать комментарий Решение

Задача 60915

[Игра "Ним"]

Темы:	[	Ним-сумма	]
Темы:	[	Выигрышные и проигрышные позиции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Игра ``Ним''. Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять любое (ненулевое) количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последний камень. Для анализа игры каждому набору кучек камней m₁, m₂, ..., m_l поставим в соответствие его ним сумму (5.1 ).
а) Докажите, что если игрок делает ход из позиции с нулевой ним-суммой, то в результате получается позиция с ним-суммой n $\ne$ 0.
б) Докажите, что из позиции с ненулевой ним-суммой всегда можно сделать ход в позицию с ним-суммой n = 0.
в) Опишите выигрышную стратегию в игру ``Ним''.
г) Какой следует сделать ход, если перед вами три кучки: 3, 4 и 5 камней?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 598]