ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 46]
РешениеПервый способ. Введем в пространстве координаты и рассмотрим координатные плоскости , и , заданные уравнениями x = 0, y = 0 и z = 0 соответственно. Рассмотрим шар B, заданный неравенством
x2 + y2 + z21.
Его проекция на плоскость — круг радиуса 1 с центром в начале
координат. Множество точек, которые проецируются в этот круг, представляет
собой цилиндр (обозначим его C1), который задается неравенством
x2 + y21.
Аналогично определим цилиндры C2 и C3, как множества точек, которые
проецируются в единичные круги с центрами в начале координат, лежащие в
плоскостях и соответственно.
Пусть C — пересечение цилиндров C1, C2 и C3. Мы утверждаем, что C — требуемое тело. Оно выпукло, так как пересечение выпуклых множеств выпукло. Покажем, что проекции тела C на плоскости , и — круги. Рассмотрим, например, плоскость . Проекция тела C на эту плоскость содержится в единичном круге, так как проекция цилиндра C1 совпадает с единичным кругом, а C содержится в C1. С другой стороны, этот единичный круг содержится в теле C, значит, проекция содержит круг. Итак, проекция тела C на плоскость содержит единичный круг и содержится в единичном круге, а, значит, совпадает с ним. Осталось доказать, что тело C не является шаром. Точка ,, содержится в каждом из цилиндров C1, C2 и C3 (например, x2 + y2 = + 1), так что эта точка содержится в C. С другой стороны, она не принадлежит единичному шару — расстояние от нее до начала координат равно
= > 1.
Поэтому CB.
Остается один вопрос, который может показаться глупым: а не может ли C оказаться шаром, отличным от B? Нетрудно видеть, что не может: проекции тела C на плоскости , и такие же как у шара B, но ясно, что два шара, имеющие одинаковые проекции на координатные плоскости, совпадают (проверьте!). Второй способ. [набросок] Рассмотрим шар и его проекции на три плоскости. Пусть некоторая точка A сферы не проецируется ни на одну из границ проекций. Тогда некоторый круг с центром в точке A обладает тем же свойством. Отрежем от шара соответствующий кусочек — получим фигуру, не являющуюся шаром, но дающую те же самые проекции на рассматриваемые плоскости.
РешениеОтвет: существует.Лемма.Пусть l1 и l2 — две прямые, φ — угол между ними, Q — точка пространства. Тогда существует константа D такая, что для любой точки P l1 и её проекции P' на прямую l2 выполнено неравенство |QP'| ≤ |QP| cosφ + D. Доказательство леммы. Пусть P0 — фиксированная точка на прямой l1. Тогда
| QP'| ≤ |QP0'| + | P0'P'| = |QP0'| + |P0P| cosφ ≤ |QP0'| + |QP0| cosφ + |QP| cosφ = D + |QP| cosφ.
Следствие. Существует такое число R = R(l1, l2, Q), зависящее от l1, l2 и Q, что если |QP| < R, то |QP'| < R.
Действительно, в качестве R достаточно выбрать . Обозначим через Oi проекцию точки O на прямую li. Пусть R1 = | OOi|, R2 = R(li, lj, O), R = max(R1, R2). Тогда, очевидно, шар радиуса R с центром в точке O — искомый.
РешениеПредположим, что это возможно. Заметим, что два из рассматриваемых параллелепипедов пересекаются тогда и только тогда, когда их проекции на все три оси координат пересекаются.Рассмотрим 4 пары параллелепипедов: P1 и P2 , P4 и P5 , P7 и P8 , P10 и P11 . Если взять параллелепипеды из разных пар, то они пересекаются, значит их проекции на любую ось пересекаются. Паре параллелепипедов из одной пары поставим в соответствие ось координат (одну из осей, если таковых несколько), на которую проекции этих параллелепипедов не пересекаются. Поскольку пар 4, а осей – 3, найдутся две пары (скажем, P1 и P2 , P4 и P5 ), которым сопоставлена одна и та же ось Ox. Пусть отрезки S1 , S2 , S4 , S5 – проекции P1 , P2 , P4 , P5 соответственно на ось Ox (пусть Ai – левые концы отрезков Si , а Bi – правые). Известно, что отрезки в парах S1 и S2 , S4 и S5 не пересекаются, а в любых других парах – пересекаются. Не ограничивая общности, можем считать, что A1<B1<A2<B2 и A4<B4<A5<B5 . Так как S1 пересекается с S5 , то A5<B1 . Но тогда B4<A2 , и отрезки S2 и S4 не пересекаются. Противоречие. Ответ в соответствующей задаче для 10 параллелепипедов также отрицательный, а для 9 параллелепипедов – положительный. ОтветНельзя.
РешениеПусть B1 – ортогональная проекция точки B на плоскость α . Тогда BB1 – перпендикуляр к плоскости α , AB1 – ортогональная проекция отрезка AB на плоскость α , а расстояние от точки B до плоскости α равно длине отрезка BB1 . Прямая BB1 перпендикулярна плоскости α , поэтому треугольник ABB1 – прямоугольный. По теореме ПифагораОтвет.
Основание пирамиды Хеопса – квадрат, а её боковые грани – равные равнобедренные треугольники. ПодсказкаКак изменяется величина угла при проектировании? РешениеПусть AB – одно из рёбер основания пирамиды, E – вершина пирамиды, а O – центр основания. Заметим, что треугольники ABE и ABO равнобедренные с основанием AB. При этом AE > AO и BE > BO (отрезок больше своей проекции). Поэтому ∠AEB < ∠AOB = 90°. ОтветНе может.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 46] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|