ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 167]      



Задача 35399

Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Имеется 20 человек – 10 юношей и 10 девушек. Сколько существует способов составить компанию, в которой было бы одинаковое число юношей и девушек?

Подсказка

Каждой такой компании сопоставьте множество из 10 человек, в которое входят все девушки, вошедшие в компанию, и все юноши, не вошедшие в неё.

Решение

Пусть имеется некоторая компания из k юношей и k девушек. Поставим ей в соответствие множество из 10 человек, в которое включим k девушек, вошедших в компанию, и  10 – k  юношей, не вошедших в неё. Установленное соответствие, очевидно, является взаимно-однозначным. Таким образом, искомое число равно числу способов выбрать 10 человек из 20-ти.

Ответ

  способов.

Прислать комментарий

Задача 60384

 [Ключи от сейфа]
Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Криптография ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Международная комиссия состоит из девяти человек. Материалы комиссии хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как их разделить между членами комиссии, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся не менее шести членов комиссии?

Решение

По условию, любые пять человек сейф открыть не могут. Значит, у них нет ключа от некоторого замка. При этом любой другой член комиссии должен этот ключ иметь. Поэтому нужно поставить    замков. Четыре ключа от каждого замка отдаются некоторой четвёрке членов комиссии, причём разные ключи раздаются разным четвёркам.

Ответ

126 замков, по 4 ключа к каждому замку.

Прислать комментарий

Задача 73582

Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Из цифр 1 и 2 составили пять n-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в m разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Докажите, что отношение m/n не меньше ⅖ и не больше ⅗.

Решение

  Выпишем числа одно под другим. В каждом разряде ("столбце") пять цифр. Из них можно составить 10 (неупорядоченных) пар. По всем столбцам таких пар будет 10n. Выясним, сколько среди них таких, которые состоят из одинаковых цифр, то есть пар  (1, 1)  и  (2, 2).  В каждом столбце таких пар либо 4, либо 6. Поэтому общее количество таких пар не меньше 4n и не больше 6n. С другой стороны, количество таких пар равно 10m, поскольку всевозможных пар из пяти чисел – 10.
  Итак,  4n ≤ 10m ≤ 6n,  что и требовалось доказать.

Прислать комментарий

Задача 98014

Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Фомин С.В.

В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава ячейки реализованы?

 

Решение

  Количество членов ячейки после каждого собрания меняет чётность. Если бы удалось реализовать все возможные составы ячейки, то разность количеств возможных "чётных" и "нечётных" составов была бы равна ±1 или 0.
  Количество всех нечётных подмножеств множества из 11 элементов равно количеству всех его чётных подмножеств (см. решение задачи 30711). Но из первого количества мы должны отбросить 11 одноэлементных подмножеств, а из второго – пустое множество и 55 пар. Таким образом, количество нечётных ячеек на 45 больше количества чётных, и реализовать все возможные составы ячейки не удастся.

Ответ

Не может.

Прислать комментарий

Задача 116428

Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Доказательство от противного ]
[ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная, в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой). Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31 прямую, некоторые, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

Решение

  Оценка. Кроме концов, на ломаной 30 вершин, и каждая является пересечением двух прямых. Если прямых не более восьми, то точек пересечения не более  7·8 : 2 = 28  – противоречие.

  Пример – на рисунке.

Ответ

9 прямых.

Прислать комментарий

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 167]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .