ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



Задача 35079

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

Решение

Рациональные числа выражаются периодическими десятичными дробями. Предположим, что наша дробь периодическая: некоторая последовательность T, состоящая из n цифр, является периодом дроби начиная с m-го знака после запятой. Среди цифр после m-го знака встречаются ненулевые, поэтому в последовательности цифр T есть ненулевая цифра. Это означает, что начиная с m-й цифры после запятой, среди любых n цифр подряд есть ненулевая цифра. Однако в десятичной записи данной дроби должна присутствовать десятичная запись числа 10k, где k больше m и n. Эта запись встретится правее m-й цифры и содержит более n нулей подряд. Противоречие.

Прислать комментарий

Задача 60841

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Найдите период дроби  1/49 = 0,0204081632...

Решение

1/49 = 0,(020408163265306122448979591836734693877551).
Если просуммировать геометрическую прогрессию  2·10–2 + 4·10–4 + ...,  то получится в точности 1/49.

Прислать комментарий

Задача 60842

 [Число Фейнмана]
Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите её период:  1/243 = 0,004115226337448...

Ответ

0,(004115226337448559670781893).

Прислать комментарий

Задача 60843

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей:
  а)  0,(12) + 0,(122);   б)  0,(3)·0,(4);   в)  0,(9) – 0,(85).

Решение

а) Согласно задаче 60876   0,(12) + 0,(122) = 12/99 + 122/999 = 121212+122122/999999 = 243334/999999 = 0,(243334).

в) 0,(9) – 0,(85) = 0,(14) = 14/99.

Ответ

а)  1243334/999999 = 0,(243334);   б)  4/27 = 0,(148);   в)  14/99 = 0,(14).

Прислать комментарий

Задача 60876

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что равенство   =   равносильно тому, что десятичное представление дроби 1/m имеет вид  0,(a1a2...an).

Решение

По формуле для суммы геометрической прогрессии  0,(a1...an) = .  Значит, если   = ,  то  1/m = 0,(a1a2...an).

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .