ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 103970

Темы:   [ Упаковки ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Необычные построения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

На столе лежат четыре одинаковые монеты. Разрешается двигать монеты, не отрывая их от стола. Нужно расположить (не пользуясь измерительными инструментами!) монеты так, чтобы можно было положить на стол пятую монету такого же размера, касающуюся этих четырёх.

Решение

Решение задачи показано на рисунке. Нетрудно заметить, что к итоговому расположению монет можно добавить пятую так, что она будет касаться остальных четырех.
Прислать комментарий


Задача 108995

Темы:   [ Упаковки ]
[ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Системы точек ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Доказать, что в круге радиуса 10 нельзя поместить 400 точек так, чтобы расстояние между каждыми двумя было больше 1.

Решение

Круг радиуса 10 имеет площадь 100π . Если расстояние между двумя точками равно 1, то круги радиуса 0,5 с центрами в этих точках касаются друг друга. Площадь 400 таких кругов радиуса 0,5 равна 400· π· 0,52=100π . Если такие круги поместить вплотную друг к другу, то они займут площадь большую, чем 100π кв. ед., так как между кругами будут зазоры. Отсюда ясно, что их нельзя поместить в круг радиуса 10 ед. Тем более нельзя поместить 400 точек в этот круг так, чтобы расстояние между ними было больше, чем единица.
Прислать комментарий


Задача 66334

Темы:   [ Упаковки ]
[ Касающиеся окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Даны две монеты радиуса 1 см, две монеты радиуса 2 см и две монеты радиуса 3 см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трёх монет оказались на одной прямой?

Решение

См. рисунок, на котором центры пяти монет находятся в вершинах четырёх треугольников со сторонами 3, 4, 5.

Прислать комментарий

Задача 109869

Темы:   [ Упаковки ]
[ Метод координат в пространстве (прочее) ]
[ Куб ]
[ Четность и нечетность ]
[ Обход графов ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

N³ единичных кубиков просверлены по диагонали и плотно нанизаны на нить, после чего нить связана в кольцо (то есть вершина первого кубика соединена с вершиной последнего). При каких N такое ожерелье из кубиков можно упаковать в кубическую коробку с ребром длины N?

Решение

  Выберем в ожерелье какой-нибудь кубик и отметим его номером 1. Затем занумеруем остальные кубики по порядку, двигаясь вдоль нити в одном из двух возможных направлений. В кубике с номером n обозначим через An ту принадлежащую нити вершину, которая примыкает к предыдущему кубику.
  Выберем систему координат, совместив начало с вершиной коробки, направив оси вдоль её ребер и взяв в качестве единицы длины длину ребра кубика. Если ожерелье упаковано в коробку, то принадлежащие нити вершины каждого кубика имеют различные по чётности абсциссы. Значит, сумма этих двух абсцисс для каждого кубика – нечётное число. Следовательно, в случае нечётного N сумма всех этих абсцисс по всем кубикам – также нечётное число. Но каждая абсцисса повторяется дважды: каждая вершина An принадлежит двум кубикам. Значит, указанная сумма чётна. Таким образом, при нечётном N упаковать ожерелье в коробку невозможно.
  При чётном N в каждом кубике проведём диагональ, связывающую вершину вида  (ч, ч, н)  (то есть вершину, у которой первые две координаты чётны, а третья – нечётна) с вершиной вида  (н, н, ч).  Рассмотрим граф, образовавшийся на вершинах такого вида. Нетрудно понять, что он связен. Кроме того, каждая вершина внутри куба соединена с восемью вершинами, на грани – с четырьмя, а на ребре – с двумя вершинами. Следовательно, по известному критерию (см. решение задачи 30806), в этом графе существует цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Уложив кубики в порядке обхода этого цикла так, что просверленная диагональ каждого попадёт на соответствующее ребро, получим требуемую укладку нашего ожерелья.

Прислать комментарий

Задача 98125

Темы:   [ Перегруппировка площадей ]
[ Упаковки ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8

Автор: Назаров Ф.

У нумизмата Феди все монеты имеют диаметр не больше 10 см. Он хранит их в плоской коробке размером 30×70 см (в один слой). Ему подарили монету диаметром 25 см. Докажите, что все монеты можно уложить в одну плоскую коробку размером 55×55 см.

Решение

Отрежем от прямоугольника 30×70 прямоугольник 30×15 и переставим его, как показано на рисунке. Затем дополним полученную фигуру до квадрата 55×55 (это показано пунктирными линиями). Все монеты, не задевающие прямоугольник 30×15, можно оставить на месте. Все монеты, задевающие прямоугольник 30×15, можно перенести вместе с ним. Так как диаметр каждой монеты не превосходит 10, перенесённые монеты уложатся в прямоугольнике 30×25. В итоге останется свободный квадрат 25×25, в который можно положить подаренную монету.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .