ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 206]      



Задача 78494

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В таблицу 8×8 вписаны все целые числа от 1 до 64. Доказать, что при этом найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 5. (Соседними называются числа, стоящие в клетках, имеющих общую сторону.)

Решение

  Рассмотрим горизонтальную строку таблицы, содержащую число 1, и вертикальный столбец, содержащий число 64. Мы можем, двигаясь сначала по строке, а потом по столбцу, пройти от клетки, в которой написано число 1, к клетке, в которой написано число 64, причём наш путь будет состоять не более чем из 14 ходов (ходом мы называем переход из любой клетки в соседнюю).
  Предположим, что разность между каждыми двумя соседними числами в таблице меньше 5. Тогда за 14 или меньшее число ходов, которые мы сделали при переходе от 1 к 64, к исходному числу 1 прибавится не более чем  14×4 = 56.  Между тем  64 – 1 = 63.  Противоречие.

Прислать комментарий

Задача 78501

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

В таблицу 9×9 вписаны все целые числа от 1 до 81. Доказать, что найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 6.

Решение

Где-то в таблице стоит 1, а где-то 81. Соединим эти числа цепочкой, переходя от одного числа к другому (стоящему в соседней клетке), сделав минимальное число переходов (их будет не более 16). Если в таблице разность между соседними меньше 6, то число переходов в цепочке ровно 16, иначе нашелся бы переход с разностью, большей 5. Значит, 1 и 81 стоят в противоположных углах таблицы, а в цепочке стоят числа 1, 6, 11, 16, 21, ..., 81. Рассмотрим другую минимальную цепочку, соединяющую 1 и 81. В ней тоже должны стоять числа 1, 6, 11, 16,..., 81. Но в таблице все числа различны. Противоречие.

Прислать комментарий

Задача 78685

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

В таблице A размером 10×10 написаны какие-то числа. Обозначим сумму всех чисел в первой строке через s1, во второй – через s2 и т.д. Аналогично сумму чисел в первом столбце обозначим через t1, во втором – t2 и т.д. Составлена новая таблица B размером 10×10, в неё вписаны числа следующим образом: в первой клетке первой строки пишется наименьшее из чисел s1 и t1, в третьей клетке пятой строки пишется наименьшее из чисел s5 и t3, аналогично записана вся таблица. Оказалось, что можно так занумеровать клетки таблицы B числами от 1 до 100, что в клетке с k-м номером будет стоять число, меньшее или равное k. Какое максимальное значение может принимать при этих условиях сумма всех чисел таблицы A?

Решение

  Пример таблицы A, для которой сумма всех чисел равна 955.

  Таблица B в этом случае совпадает с A.
  Оценка. Перенумеровав столбцы и строки и, возможно, отразив таблицу относительно диагонали, сделаем так, что t10 – наибольшее из чисел s1, ..., s10, t1, ..., t10. Тогда в десятом столбце стоят числа s1, ..., s10. Сумма чисел в этих клетках не превосходит суммы номеров клеток, в которых они стоят, а значит, не больше чем  91 + ... + 100 = 955.  С другой стороны, эта сумма равна сумме всех чисел таблицы A. Следовательно, сумма всех чисел таблицы A не превосходит 955.

Ответ

955.

Прислать комментарий

Задача 78808

Тема:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 9

В некоторых клетках квадратной таблицы n×n стоят звёздочки. Известно, что если вычеркнуть любой набор строк (только не все), то найдётся столбец ровно с одной невычеркнутой звёздочкой. (В частности, если строки совсем не вычёркивать, то столбец ровно с одной звёздочкой существует.) Доказать, что если вычеркнуть любой набор столбцов (только не все), то найдётся строка ровно с одной невычеркнутой звёздочкой.

Решение

Заметим, что после перестановки строк и столбцов данной таблицы получаем таблицу, удовлетворяющую условиям задачи. Возьмём столбец с одной звёздочкой (такой существует) и поменяем его с первым столбцом, а также строку, в которой стоит эта звёздочка, поменяем с первой строкой. Затем вычеркнем первую строку и применим утверждение задачи. А после этого переставим строку и столбец со звёздочкой со второй строкой и вторым столбцом. Далее вычеркнем первые две и поступим аналогично. Будем продолжать процесс, пока не упорядочим всю таблицу. Полученная таблица, во-первых, содержит звёздочки на диагонали, а во-вторых, не содержит звёздочек под диагональю. Если теперь вычеркнуть несколько столбцов и номер последнего не вычеркнутого столбца k, то в строчке с номером k ровно одна звёздочка.

Прислать комментарий

Задача 78814

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

В клетках шахматной доски размером n×n расставлены числа: на пересечении k-й строки и m-го столбца стоит число akm. При любой расстановке на этой доске n ладей, при которой никакие две из них не бьют друг друга, сумма закрытых чисел равна 1972. Доказать, что существует два таких набора чисел x1, x2, ..., xn и y1, ..., yn, что при всех k и m выполняется равенство  akm = xk + ym.

Решение

Рассмотрим клетки  (1, 1)  и  (k, m).  Существует расстановка n ладей на всей доске, при которой в этих клетках стоят ладьи. После этого заменим пару ладей в клетках  (1, 1)  и  (k, m)  на пару ладей в клетках  (k, 1)  и  (1, m).  Расположение ладей при этом останется "правильным". Следовательно,
a11 + akm = ak1 + a1m,  откуда  akm = ak1 + a1ma11.  Заметим, что это равенство выполнено и в случаях, когда k или m равно 1. Положим теперь
xk = ak1a11ym = a1m.

Прислать комментарий

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 206]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .