Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Текстовые задачи
>>
Таблицы и турниры
>>
Шахматные доски и шахматные фигуры
Фильтр
Задачи
Задача 32089 |
|
|
Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8, чтобы они не били друг друга?
Решение
Очевидно, что в каждом столбике из восьми кубиков-клеток может стоять только одна ладья, поэтому больше 64 ладей поставить нельзя.
Покажем, как поставить 64 ладьи, чтобы они не били друг друга. Введём систему координат с осями, направленными вдоль ребер куба так, чтобы каждая клетка имела координатами тройку (x, y, z) чисел от 0 до 7 и поставим ладьи в клетки, сумма координат которых делится на 8.
Предположим, какие-то две ладьи бьют друг друга. Значит, две их координаты (скажем, x и y) совпадают, а третьи – различны (обозначим их z1 и z2). Суммы x + y + z1 и x + y + z2, а значит, и их разность z1 – z2 кратны 8. Но это невозможно, так как z1 и z2 – различные неотрицательные числа, меньшие 8.
Заметим теперь, что в каждом вертикальном столбике находится по ладье, то есть что мы поставили 64 ладьи. Действительно, каждый такой столбик определяется своей парой координат x и y. Координата z для ладьи в этом столбике однозначно задается условием x + y + z ≡ 0 (mod 8).
Ответ
64 ладьи.
|
|
Задача 32804 |
|
|
а) Какое максимальное количество слонов можно расставить на
доске 1000 на 1000 так, чтобы они не били друг друга?
б) Какое максимальное количество коней можно расставить на доске 8×8 так, чтобы они не били друг друга?
Решение
а) Поскольку на одной диагонали не может стоять больше одного слона, а всего диагоналей, идущих снизу-слева направо-вверх, ровно 1999, причём на двух крайних (состоящих из одной клетки) может стоять не больше одного слона (они расположены на одной перпендикулярной диагонали), то на доску нельзя поставить больше 1998 не бьющих друг друга слонов.
Это число достигается: например, можно поставить 1000 слонов на верхний ряд доски и 998 слонов – на нижний ряд, кроме угловых клеток.
б) 32 коня можно поставить на все белые клетки.
Разобьём доску на 8 прямоугольников 4×2, а каждый из них – на четыре пары клеток, соединённых ходом коня. Всего получилось 32 пары, и в каждой из них может стоять не более одного коня.
Ответ
а) 1998 слонов; б) 32 коня.
|
|
|
Задача 65087 |
|
|
Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая ломаная без самопересечений. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченной ею части доски общая площадь чёрных кусков равна общей площади белых кусков.
Решение
Проведём пунктиром вертикальные и горизонтальные линии через центры клеток доски. На получившейся пунктирной сетке каждое звено нашей ломаной соединяет узлы, соседние по вертикали, горизонтали или диагонали. Поэтому пунктирные прямые разбивают область, ограниченную ломаной, на единичные квадратики и половинки квадратиков, получаемые разрезанием их по диагонали. Осталось заметить, что в каждом таком квадратике и в каждом таком треугольнике площади чёрной и белой частей равны. Действительно, каждый квадратик содержит по две четверти клеток обоих цветов, а треугольник – четверть клетки одного цвета и два треугольничка, каждый из которых составляет восьмую часть клетки другого цвета.
|
|
|
Задача 65164 |
|
|
Какое максимальное число шашек можно расставить на доске 8×8 так, чтобы каждая была под боем?
Решение
Шашки, очевидно, нельзя ставить на граничные поля (а их 28). Разобьём оставшийся квадрат 6×6 на четыре квадрата 3×3. В каждом из этих квадратов должно быть хотя бы одно свободное поле (иначе шашка, стоящая в его центре, не атакована). Значит, должны быть свободны не менее 32 полей.
32 шашки расставить можно, оставив свободными все крайние поля и четыре поля в центре доски.
Ответ
32 шашки.
|
|
|
Задача 65448 |
|
|
Людоедом называется фантастическая шахматная фигура, которая может ходить как шахматный король – на соседнюю клетку по вертикали или горизонтали, но не может ходить по диагонали. Два людоеда стоят на противоположных угловых полях шахматной доски и начинают ходить по очереди. Людоеду, вставшему на клетку, где уже стоит другой людоед, разрешается им пообедать. Кто кого съест при правильной игре и как ему надо для этого играть?
Решение
Разобьём клетки доски на диагонали, параллельные той, где изначально расположены людоеды. Всего таких диагоналей 15. Заметим, что каждым ходом людоед перемещается на соседнюю диагональ.
Укажем стратегию, позволяющую второму людоеду пообедать. Пусть для определенности он начинает игру из правого верхнего угла. Тогда он должен всегда ходить влево или вниз, и при этом вставать на ту же диагональ, на которую перед этим встал первый людоед. При этом после любого парного хода людоеды окажутся в противоположных углах некоторого квадрата. Размеры этого квадрата будут либо уменьшаться (если первый людоед будет ходить вправо или вверх), либо не будут изменяться. Но первый людоед не сможет постоянно ходить влево или вниз – сделав несколько таких ходов, он обязательно попадёт в положение, когда ему придется ходить вверх или вправо. Таким образом, размеры квадрата в ходе игры будут уменьшаться. Когда они уменьшатся до 2×2, первый людоед будет вынужден, чтобы его не съели, ходить влево или вниз, но эти ходы вскоре закончатся, и он проиграет.
Ответ
Второй людоед съест первого.
|
|
|
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 161]
