ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 367]      



Задача 31234

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8

Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.

Решение

Квадрат не может оканчиваться на 3 или 7, а числа вида  10a + 1,  10a + 5,  10a + 9  сравнимы с  2a + 1  по модулю 4. Значит, при нечётном a они при делении на 4 дают остаток 3, то есть квадратами быть не могут.

Прислать комментарий

Задача 31237

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8

Найти наименьшее натуральное N, дающее остаток 1 по модулю 2, 2 по модулю 3, ..., 7 по модулю 8.

Ответ

839 = НОK(2, 3, 4, ..., 8) – 1.

Прислать комментарий

Задача 32988

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Делится ли  222555 + 555222  на 7?

Решение

555 ≡ 2 (mod 7),  а  23 ≡ 1 (mod 7).  Значит,  222555 + 555222 ≡ 222555 + 555555 (mod 7),  а это число делится на  222 + 555 = 777.

Ответ

Делится.

Прислать комментарий

Задача 35311

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Доказать, что в последовательности 11, 111, 1111, 11111, ... нет точных квадратов.

Решение

См. задачу 31234.

Прислать комментарий

Задача 60684

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Текстовые задачи (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

В магазине было 6 ящиков, массы которых соответственно 15, 16, 18, 19, 20 и 31 килограммов. Две фирмы приобрели пять ящиков, причём одна из них взяла по массе яблок в два раза больше чем другая. Какой ящик остался в магазине?

Подсказка

Масса приобретённых яблок делится на 3.

Решение

Масса всех приобретённых яблок в три раза больше чем масса яблок, приобретённых первой фирмой, то есть делится на 3. Общая масса всех ящиков даёт при делении на 3 такой же остаток, как сумма  0 + 1 + 0 + 1 + 2 + 1 = 5.  Следовательно, масса оставшегося ящика даёт при делении на 3 остаток 2. Такой ящик только один.

Ответ

Ящик массы 20 кг.

Прислать комментарий

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 367]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .