Каталог по темам

Задачи

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 628]

Задача 33138

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

На доске написаны числа
а) 1, 2. 3, ..., 1997, 1998;
б) 1, 2, 3, ..., 1998, 1999;
в) 1, 2, 3, ..., 1999, 2000.
Разрешается стереть с доски любые два числа, заменив их разностью большего и меньшего. Можно ли, выполнив эту операцию много раз. получить на доске единственное число – 0? Если да, то как это сделать?

Решение

а) См. решение задачи 30303.

б) Сначала сотрём 2 и 3, потом 4 и 5, 6 и 7, ..., 1998 и 1999. На доске останется 1000 единиц. Стирая их попарно, получим 500 нулей. Дальнейшее очевидно.

в) Сначала сотрём 1 и 2, потом 3 и 4, ..., 1999 и 2000. На доске останется 1000 единиц. Далее см. б).

Ответ

а) Нельзя; б)-в) можно.

Прислать комментарий

Задача 34853

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8

На доске записано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и записать вместо них одну цифру, отличную от стёртых. Докажите, что если в результате нескольких таких операций на доске останется одна-единственная цифра, то она не зависит от порядка, в котором производились стирания.

Подсказка

Как меняется чётность числа нулей, единиц, двоек?

Решение

Пусть вначале было A нулей, B единиц и C двоек. После каждой операции эти числа меняются, но чётность сумм A + B, A + C и B + C не меняется. Значит, если числа A и B одной чётности, то в конце их сумма равна нулю, то есть на доске может остаться только двойка. (Если все три числа одной чётности, то одна цифра на доске остаться не может.)

Прислать комментарий

Задача 35047

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Взвешивания	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Системы линейных уравнений	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

B cтаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся можно разделить на два стада по 50 коров в каждом, так что суммарный вес коров первого стада равен суммарному весу коров другого стада. Известно, что каждая корова весит целое число килограммов. Докажите, что все коровы весят одинаково.

Решение

См. задачу 61350 а).

Прислать комментарий

Задача 35533

Тема:

[

Четность и нечетность

]

Сложность: 3+
Классы: 7,8

Замкнутая несамопересекающаяся кривая разбивает плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Два человека отправляются по произвольным маршрутам из разных точек плоскости, причём ни один из них не знает, в какой из областей он находился.
Докажите, что если они встретятся, то всегда смогут выяснить, были они вначале в одной или в разных областях.

Подсказка

Каждый из людей следит за чётностью количества пересечений с кривой.

Решение

Пусть каждый из людей следит за количеством пересечений с кривой. При встрече они складывают полученные количества. Если вместе они пересекли кривую чётное число раз, то в сумме они меняли область чётное число раз, то есть вначале находились в одной области. Если же вместе они пересекли кривую нечётное число раз, то вначале они находились в разных областях.

Прислать комментарий

Задача 35666

Тема:

[

Четность и нечетность

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Дети перебрасываются красными, белыми и синими мячами. Каждый ребенок бросил и поймал в сумме три мяча, причём это мячи различных цветов. Кроме того, некоторые три мяча были брошены, но никем не пойманы. Докажите, что эти три мяча – трёх различных цветов.

Подсказка

Покажите, что число брошенных, но не пойманных мячей каждого цвета имеет одну и ту же чётность.

Решение

Пусть количество детей равно k, а количество брошенных, но не пойманных красных мячей равно m. Тогда количество брошенных и пойманных красных мячей равно ½ (k – m) (так как каждый из этих мячей один из детей бросил, а другой – поймал). Таким образом, k и m одной чётности. Аналогично число брошенных, но не пойманных мячей каждого цвета имеет чётность, совпадающую с чётностью k. Сумма этих трёх чисел равна 3. Поскольку они неотрицательны, то все они равны 1.

Прислать комментарий

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 628]