ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Ссылки по теме:
Статья "Арифметика биномиальных коэффициентов" (Фукс Д., Фукс М) Материалы по этой теме: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 107]
РешениеСогласно задаче 60413 а) . Но Поэтому и не взаимно просты.
Обозначим через S(n, k) количество не делящихся на k коэффициентов разложения многочлена (x + 1)n по степеням x. Решение Пусть p – простое число и n = n0 + n1p + n0p² + ... + nkpk = (nk...n1n0)p – p-ичное представление числа n. Покажем, что Первый способ. Будем рассматривать многочлены над полем вычетов Zp по модулю p. Здесь S(n, p) равно количеству ненулевых коэффициентов многочлена (x + 1)n. Заметим, что биномиальный коэффициент делится на p при m = 1, ..., p – 1, а не делится на p при любом n < p, Второй способ. Надо подсчитать, сколько чисел среди , m = 0, 1, ..., n не делятся на p. Степень простого числа p, на которую делится n!, равна (см. задачу 60553). Поэтому степень p, на которую делится , равна ... Но [a + b] ≥ [a] + [b] для любых действительных чисел a и b. При этом [a + b] = [a] + [b] тогда и только тогда, когда {a} + {b} < 1, то есть Вернёмся к решению задачи. а) Так как 3 – простое число, а 2012 = (2202112)3, то S(2012,3) = 34·2² = 324. б) Число 2011 простое, а Ответа) 324.
Для любого натурального числа n сумма делится Решение Обозначим нашу сумму через sn. Будем вести индукцию по n.
Сколькими способами можно прочитать слово "строка", двигаясь вправо или вниз?: ПодсказкаЕсли двигаться с первой буквы "С", то каждый раз предоставляется две возможности – идти вправо или вниз. РешениеЯсно, что начать движение можно только с первой буквы "C". Каждым ходом мы опускаемся на одну диагональ ниже, и перед перед нами имеется выбор – идти вправо или вниз. При каждой из этих двух возможностей мы вновь опускаемся на диагональ ниже и тем самым продолжаем чтение слова "СТРОКА". Таким образом, возможностей прочитать слово "СТРОКА" столько же, сколько возможностей последовательного пятикратного выбора из двух вариантов, то есть 25 = 32. Ответ32 способами.
При каких натуральных n число ( + 1)n – ( – 1)n будет целым? ОтветПри нечётных n.
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 107] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|