Фильтр
Задачи
Задача 35737 |
|
|
Повесьте картину на веревочке на два гвоздя так, чтобы при вытаскивании любого из гвоздей картина падала.
Подсказка
Вокруг каждого из гвоздей должно быть сделано равное число оборотов по и против часовой стрелки.
Решение
Вот один из возможных вариантов.
|
|
Задача 76535 |
|
|
В городе 57 автобусных маршрутов. Известно, что:
1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;
2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом только одна, остановка, на
которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;
3) на каждом маршруте не менее трёх остановок.
Сколько остановок имеет каждый из 57 маршрутов?
Решение
Пусть на каком-то маршруте a ровно n остановок. Возьмём остановку B, через которую a не проходит. Из B есть маршрут в каждую из n остановок маршрута a, причём такой маршрут ровно один, поскольку два разных маршрута не могут иметь двух общих остановок. Каждый маршрут, проходящий через B, пересекает маршрут a. Поэтому через B проходит ровно n маршрутов.
Теперь ясно, что любой маршрут b, не проходящий через остановку B, имеет ровно n остановок. Действительно, как и выше, число остановок на нём равно числу маршрутов, проходящих через B.
Рассмотрим произвольную точку A маршрута a, возьмём на маршруте AB остановку C, отличную от A и B, и проведём через неё маршрут c, отличный от AB. Маршрут c не проходит через B, следовательно, на нём n остановок. Остановка A не лежит на c, поэтому, как показано выше, через A проходит n маршрутов (включая a). То же верно для каждой точки маршрута a.
Значит, через точки маршрута a проходит всего n(n – 1) маршрутов, отличных от a, и ещё сам маршрут a. А это – все маршруты города.
Решая уравнение n(n – 1) + 1 = 57, находим, что n = 8.
Ответ
8 остановок.
|
|
|
Задача 79364 |
|
|
Решение
Ответ: Витя. После первого хода Коли Витя мысленно отмечает произвольный узел O, отличный от того, который отметил Коля. Затем он каждый раз отмечает узел, симметричный относительно O тому узлу, который отметил Коля. Ясно, что при этом снова получается выпуклый многоугольник. После шести ходов получается центрально симметричный шестиугольник. В дальнейшем можно отмечать только узлы, лежащие в шести треугольниках, образованных сторонами шестиугольника и продолжениями сторон. Поэтому у Коли есть только конечное число возможных ходов.|
|
|
Задача 66800 |
|
|
Решение
Пусть $AB = 1$. Рассмотрим выпуклый $1001$-угольник, одна из вершин которого совпадает с $A$, а остальные $1000$ вершин лежат на расстоянии, меньшем $\varepsilon$ от $B$, где $\varepsilon$ достаточно мало. Обозначим через $k + \ell$ общее число диагоналей, равное $\frac{1001 \cdot 998}{2}=499499$. При $k\ge 498501$ сумма длин кратчайших $k$ диагоналей примерно равна $k-498501=998-\ell$, а сумма остальных диагоналей примерно равна $\ell$. Следовательно, $\ell\le 499$ и $k\ge 499000$.
Покажем теперь, что $k = 499000$ удовлетворяет условию. Раскрасим произвольные $\ell=499$ зеленым. Для каждой зеленой диагонали $AB$, кроме, возможно, последней, построим красные диагонали $AC$ и $CB$ так, чтобы ни одна зеленая диагональ не была перекрашена в красный цвет и ни одна диагональ не была покрашена красным дважды.
Пусть для $0 \le i \le 498$ зеленых диагоналей соответствующие красно-зеленые треугольники построены. Рассмотрим очередную зеленую диагональ $AB$. Пусть $D$ – множество всех диагоналей с концами $A$ и $B$, отличных от $AB$; тогда $|D|=2\cdot 997=1994$. Каждый красно-зеленый треугольник имеет не больше двух сторон в $D$. Значит подмножество $E$ непокрашенных диагоналей из $D$ содержит не меньше $1994-2i$ элемента.
При $i\le 497$ имеем $1994-2i\ge 1000$. Общее число вершин, отличных от $A$ и $B$, равно $999$. Следовательно найдутся две диагонали из $E$ с общим концом $C$ и мы можем покрасить красным диагонали $AC$ и $CB$.
Осталось рассмотреть случай $i = 498$. Предположим, что никакие две диагонали из $E$ не имеют общих концов, отличных от $A$ и $B$. Тогда найдутся две диагонали из $E$, которые пересекаются. Действительно, в противном случае одна (назовем ее $a$) из двух соседних с $A$ вершин отделена от $B$ диагоналями, выходящими из $A$, и одна (назовем ее $b$) из двух соседних с $B$ вершин отделена от $A$ диагоналями, выходящими из $B$ (при этом $a \neq b$). Тогда у нас есть не больше $997$ подходящих вершин и не меньше $998$ диагоналей из $E$ – противоречие.
Для завершения доказательства осталось воспользоваться неравенством треугольника.
Ответ
$k = 499000$.|
|
|
Задача 66839 |
|
|
Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2$n$ кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?
Решение
Пусть рёбра куба параллельны осям координат.
а) Разобьём куб на слои толщиной 1, параллельные плоскости $Oxy$.
Рассмотрим только спицы направлений $Ox$ и $Oy$. В каждом слое найдём максимум числа таких спиц, идущих в одном направлении. Точно также найдём максимумы числа спиц для каждого слоя параллельного $Oxz$ и параллельного $Oyz$. Пусть $k$ – минимум из 6$n$ этих максимумов.
Рассмотрим слой $K$, где максимум равен $k$. В слое можно выбрать $2n - k$ строк и $2n - k$ столбцов, через которые не проходят спицы слоя. На пересечении выбранных рядов есть $(2n - k)^2$ кубиков, их протыкают $(2n - k)^2$ спиц, перпендикулярных $K$. Покрасим эти $(2n - k)^2$ спиц в синий цвет. Выберем грань $P$ куба, перпендикулярную слою $K$. Рассмотрим слои, параллельные $P$ и не содержащие синих спиц. Их ровно $k$. В каждом таком слое можно выбрать не менее $k$ спиц одного направления, всего не менее $k^2$ спиц. Добавим к ним синие спицы. По известному неравенству $k^2+(2n-k)^2\geqslant\frac{1}{2} (k+(2n-k))^2=2n^2.$
б) Выделим в нашем кубе два меньших куба со стороной $n$, примыкающие к противоположным вершинам. Они состоят из $2n^3$ единичных кубиков. Проткнём каждый выделенный кубик тремя перпендикулярными спицами. Тогда и все невыделенные единичные кубики тоже проткнуты. Заметим, что каждая спица протыкает ровно $n$ выделенных кубиков. Значит, если спицы выбраны так, что никакой кубик не проткнут дважды, то спиц не более чем $2n^3:n = 2n^2$.
Ответ
б) $2n^2$ спиц.
|
|
|
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 75]
