Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 162]      

В одной куче 18 конфет, а в другой – 23. Двое играют в игру: одним ходом можно съесть одну кучу конфет, а другую разделить на две кучи. Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход, то есть перед ходом которого имеются две кучи из одной конфеты. Кто выиграет при правильной игре?

Подсказка

Надо заставить соперника делить все время кучу с нечётным числом конфет.

Решение

Первым ходом первому нужно съесть кучу из 23 конфет, а кучу из 18 конфет разделить на две кучи с нечётным числом конфет. После этого второй съест одну из куч, а другую кучу разделит на две кучи, в одной из которых чётное число конфет, а в другой – нечётное. Теперь перед первым игроком ситуация, аналогичная начальной – имеются две кучи, в одной из которых чётное число конфет, а в другой – нечётное. Первый снова должен съесть "нечётную" кучу, а "чётную" кучу поделить на две нечётных, и т.д. Как бы ни ходил второй, после его хода остаётся две кучи, одна из которых имеет чётное (а, следовательно, большее 1) число конфет. Поэтому после хода второго первый может сделать свой ход.

Ответ

Первый.

Прислать комментарий

В центре квадрата сидит волк, а в вершинах - сидят собаки. Волк может бегать по внутренности квадрата с максимальной скоростью , а собаки - только по сторонам квадрата с максимальной скоростью . Известно, что волк задирает собаку, а две собаки задирают волка. Всегда ли волк сможет выбежать из квадрата?

Подсказка

Собаки могут бегать так, чтобы волк все время находится в центре "диагонального креста", образованного собаками.

Решение

Покажем, как могут действовать собаки, чтобы не выпустить волка. Каждая из собак может бегать таким образом, чтобы вектор, соединяющий ее с волком, не менял направления. В самом деле, за единицу времени волк может сместиться на расстояние в направлении, перпендикулярном соответствующей диагонали. Собаке при этом достаточно сместиться на расстояние . Итак, волк все время находится в центре "диагонального креста", образованного собаками. Мы видим, что при попытке выбежать из квадрата сразу две собаки настигают волка.

Ответ

не всегда.

Прислать комментарий

Имеется 100 камней. Два игрока берут по очереди от 1 до 5 камней. Проигрывает тот, кто берет последний камень.
Определите выигрышную стратегию первого игрока.

Подсказка

Первый игрок должен следить за тем, чтобы количество камней, оставшихся после его хода, давало остаток 1 при делении на 6.

Прислать комментарий

В ряд записаны всевозможные правильные несократимые дроби, знаменатели которых не больше ста. Маша и Света ставят знаки "+" или "–' перед любой дробью, перед которой знак еще не стоит. Они делают это по очереди, но известно, что Маше придётся сделать последний ход и вычислить результат действий. Если он получится целым, то Света даст ей шоколадку. Сможет ли Маша получить шоколадку независимо от действий Светы?

Решение

Заметим, что в указанном ряду нечетное количество дробей. Действительно, если правильная дробь a/b несократима, то и дробь 1 – a/b = (b – a)b является правильной и также несократима. Эти дроби различны, кроме одного случая: а = 1, b = 2. Таким образом, первый ход должна сделать Маша.

Тогда она может действовать следующим образом: первым ходом поставить любой знак перед дробью 1/2, например, знак “+”. Остальные дроби можно разбить на пары так, чтобы сумма дробей в каждой паре была равна 1. Поэтому далее со всеми дробями, кроме 1/4 и 3/4, можно придерживаться следующей стратегии: если Света ставит какой-то знак перед дробью a/b, то Маша ставит тот же знак перед дробью 1 – a/b. Тем самым, сумма всех дробей в таких парах будет целой.

Для дробей 1/4 и 3/4 стратегия изменяется: в ответ на знак, поставленный Светой перед одной из них, Маша должна поставить противоположный знак перед другой. Тогда ½ + ¼ – ¾ = 0 или ½ – ¼ + ¾ = 1, значит, результат, полученный Машей, будет целым.

Ответ

Сможет.

Прислать комментарий

Белая ладья преследует чёрного коня на доске 3×1969 клеток (они ходят по очереди по обычным правилам). Как должна играть ладья, чтобы взять коня? Первый ход делают белые.

Решение

Первым ходом ладья встаёт на произвольную клетку средней линии, идущей вдоль доски. Затем она каждый раз становится по диагонали от коня так, чтобы он был вынужден отходить в одном и том же направлении.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 162]