Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 295]

Задача 52355

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
Темы:	[	Теорема Птолемея	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что AP = BP + CP.

Подсказка

Отложите на луче AP отрезок AP₁, равный отрезку CP, и докажите, что треугольник BPP₁ – равносторонний.

Решение

Первый способ. Отложим на луче AP отрезок AP₁, равный отрезку CP. Тогда треугольники AP₁B и CPB равны по двум сторонам и углу между ними. В треугольнике BPP₁ BP₁ = BP, ∠BPP₁ = ∠BPA = ∠BCA = 60°. Поэтому PP₁ = BP. Следовательно, AP = AP₁ + P₁P = BP + CP.

Второй способ. По теореме Птолемея (см. задачу 52468) BC·AP = AC·BP + AB·CP, а так как BC = AC = AB, то AP = BP + CP.

Прислать комментарий

Задача 52356

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC взята точка P. Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите, что ¹/_PQ = ¹/_PB + ¹/_PC.

Подсказка

Рассмотрите пары подобных треугольников.

Решение

Треугольники BQP и AQC подобны, поэтому ^AC/_BP = ^QC/_PQ. Аналогично ^AB/_PC = ^BQ/_PQ. Сложив эти два равенства, получим
^AC/_BP + ^AB/_PC = ^QC/_PQ + ^BQ/_PQ = ^BQ+QC/_PQ = ^BC/_PQ. Поскольку AC = AB = BC, то ¹/_BP + ¹/_PC = ¹/_PQ.

Прислать комментарий

Задача 53114

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки, лежащей на окружности, до вершин правильного вписанного в эту окружность треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.

Подсказка

См. задачу 52355.

Решение

Пусть M – произвольная точка меньшей дуги AB описанной окружности равностороннего треугольника ABC. Обозначим AM = x, CM = z, BM = y, AB = BC = AC = a. Тогда ∠AMC = ∠BMC = 60°, а согласно задаче 52355 z = x + y.
Применив теорему косинусов к треугольникам AMC и BMC, получим 2a² = a² + a² = (x² + z² – xz) + (y² + z² – yz) = x² + y² + 2z² – (x + y)z = x² + y² + z².
Таким образом, сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин треугольника равна 2a².

Прислать комментарий

Задача 53689

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Два равносторонних треугольника ABC и CDE расположены по одну сторону от прямой AE и имеют единственную общую точку C. Пусть M, N и K – середины отрезков BD, AC и CE соответственно. Докажите, что треугольник MNK равносторонний.

Подсказка

Пусть P и Q – середины отрезков BC и DC соответственно. Докажите, что треугольники MPN и KQM равны.

Решение

Пусть P и Q – середины отрезков BC и DC соответственно. Тогда PN = PC = MQ, PM = CQ = QK, ∠MPN = ∠MPC + ∠CPN = 240° – α = ∠KQM. Следовательно, треугольники MPN и KQM равны и MN = MK.
Кроме того, поскольку каждый из углов MNC и MKC меньше 60°, то ∠NMK = ∠PMQ – ∠PMN – ∠QMK = α – ∠PMN – ∠PNM = α – 180° + ∠NPM = 60°.

Прислать комментарий

Задача 53868

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки K и L, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.

Подсказка

Треугольники LQC и AQB подобны с коэффициентом ½.

Решение

Пусть O – середина BC, P и Q – точки пересечения отрезков AK и AL со стороной BC.
Поскольку ∠LOC = 60° и OL = OC, то треугольник LOC – равносторонний. Поэтому LC = OC = ½ BC = ½ AB, LC || AB.
Из подобия треугольников LQC и AQB находим, что CQ = ^LC/_AB·BQ = ½ BQ.
Следовательно, CQ = ¹/₃ BC. Аналогично BP = ¹/₃ BC.

Прислать комментарий

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 295]