Фильтр
Задачи
Задача 108213 |
|
|
Дан треугольник ABC с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники ABC1, BCA1 и CAB1. Докажите, что треугольник A1B1C1 не может быть правильным.
Решение
Предположим, что треугольник A1B1C1 – правильный.
Если точка A лежит на отрезке B1C1, то из равенства ∠C1B1A1 = ∠AB1C = 60° следует, что C лежит на B1A1. При этом
∠BAC = 180° – ∠BAC1 – ∠CAB1 = 60°. Аналогично, ∠ACB = 60°. Следовательно, треугольник ABC
– правильный, что противоречит условию. Значит, точка A не лежит
на B1C1.
Рассмотрим треугольники A1BC1, B1CA1 и C1AB1. Назовём один из них внешним, если он пересекается с треугольником ABC только по соответствующей вершине (так, на левом рисунке внешними являются треугольники A1BC1 и C1AB1, а на правом – треугольник A1BC1); иначе назовём его внутренним.
Тогда к одной из вершин A1, B1, C1 прилегают либо два внешних треугольника (рис. слева), либо два внутренних (рис. справа). В первом случае соответствующий угол треугольника A1B1C1 больше 60°, во втором – меньше. Противоречие.
|
|
Задача 108681 |
|
|
Точки P1, P2, ..., Pn–1 делят сторону BC равностороннего треугольника ABC на n равных частей: BP1 = P1P2 = ... = Pn–lC. Точка M выбрана на стороне AC так, что AM = BP1.
а) n = 3;
б) n – произвольное натуральное число.
Решение
См. задачу 98309.
|
|
|
Задача 109703 |
|
|
Правильный треугольник разбит на правильные треугольники со стороной 1 линиями, параллельными его сторонам и делящими каждую сторону на n частей (на рисунке n = 5).
Решение
Общее количество отрезков длины 1 равно 3/2 n(n + 1). Все отрезки, параллельные двум сторонам большого треугольника, не образуют треугольников. Следовательно,
⅔·3/2 n(n + 1) = n(n + 1) отрезков длины 1 отметить можно.
Докажем, что большее количество отрезков отметить нельзя. Заштрихуем треугольники со стороной 1, как показано на рисунке.
Ответ
n(n + 1) отрезков.
|
|
|
Задача 115738 |
|
|
Пусть O – центр правильного треугольника ABC. Из произвольной точки P плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что M – середина отрезка PO.
Решение
Как известно, если G – точка пересечения медиан некоторого треугольника XYZ, то для произвольной точки Р выполняется равенство:
Рассмотрим векторы a, b и c, начало каждого из которых расположено в точке Р, а конец – на основании перпендикуляра, опущенного из точки Р на соответствующую сторону треугольника ABC. Нам нужно доказать, что то есть, что
Для доказательства рассмотрим еще шесть векторов, каждый из которых лежит на прямой, параллельной стороне треугольника и проходящей через точку Р.
Легко убедиться в и том, что эти рассуждения проходят и в случае, когда точка Р расположена вне треугольника АВС.
|
|
|
Задача 116455 |
|
На сторонах АС и ВС равностороннего треугольника АВС отмечены точки D и Е соответственно так, что AD = ⅓ AC, CE = ⅓ CE. Отрезки АЕ и BD пересекаются в точке F. Найдите угол BFC.
Решение
При повороте на 120° вокруг центра треугольника АBC вершина В перейдёт в вершину А, а точка D – в точку Е, поэтому прямая BD перейдёт в прямую АЕ. Следовательно, угол DFE между этими прямыми равен 120°.
Ответ
90°.|
|
|
Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 290]
