ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 289]      



Задача 108213

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Доказательство от противного ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Лифшиц Ю.

Дан треугольник ABC с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники ABC1, BCA1 и CAB1. Докажите, что треугольник A1B1C1 не может быть правильным.

Решение

  Предположим, что треугольник A1B1C1 – правильный.
  Если точка A лежит на отрезке B1C1, то из равенства  ∠C1B1A1 = ∠AB1C = 60°  следует, что C лежит на B1A1. При этом
BAC = 180° – ∠BAC1 – ∠CAB1 = 60°.  Аналогично,  ∠ACB = 60°.  Следовательно, треугольник ABC – правильный, что противоречит условию. Значит, точка A не лежит на B1C1.
  Рассмотрим треугольники A1BC1, B1CA1 и C1AB1. Назовём один из них внешним, если он пересекается с треугольником ABC только по соответствующей вершине (так, на левом рисунке внешними являются треугольники A1BC1 и C1AB1, а на правом – треугольник A1BC1); иначе назовём его внутренним.

           

  Тогда к одной из вершин A1, B1, C1 прилегают либо два внешних треугольника (рис. слева), либо два внутренних (рис. справа). В первом случае соответствующий угол треугольника A1B1C1 больше 60°, во втором – меньше. Противоречие.

Прислать комментарий

Задача 108681

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Точки P1, P2, ..., Pn–1 делят сторону BC равностороннего треугольника ABC на n равных частей:  BP1 = P1P2 = ... = Pn–lC.  Точка M выбрана на стороне AC так, что  AM = BP1.

Докажите, что  ∠AP1M + ∠AP2M + ... + ∠APn–1M = 30°,  если
  а)  n = 3;
  б) n – произвольное натуральное число.

Решение

См. задачу 98309.

Прислать комментарий

Задача 109703

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Антонов М.

Правильный треугольник разбит на правильные треугольники со стороной 1 линиями, параллельными его сторонам и делящими каждую сторону на n частей (на рисунке  n = 5).

Какое наибольшее число отрезков длины 1 с концами в вершинах этих треугольников можно отметить так, чтобы не нашлось треугольника, все стороны которого состоят из отмеченных отрезков?

Решение

  Общее количество отрезков длины 1 равно  3/2 n(n + 1).  Все отрезки, параллельные двум сторонам большого треугольника, не образуют треугольников. Следовательно,  ⅔·3/2 n(n + 1) = n(n + 1)  отрезков длины 1 отметить можно.
  Докажем, что большее количество отрезков отметить нельзя. Заштрихуем треугольники со стороной 1, как показано на рисунке.

  Эти треугольники содержат все отрезки длины 1, причём каждый отрезок принадлежит ровно одному треугольнику. Для того чтобы не образовался ни один из заштрихованных треугольников, в каждом из них можно отметить не более двух отрезков. Значит, количество выделенных отрезков не превышает ⅔ от их общего числа.

Ответ

n(n + 1)  отрезков.

Прислать комментарий

Задача 115738

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть O – центр правильного треугольника ABC. Из произвольной точки P плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что M – середина отрезка PO.

Решение

  Как известно, если G – точка пересечения медиан некоторого треугольника XYZ, то для произвольной точки Р выполняется равенство:  
  Рассмотрим векторы a, b и c, начало каждого из которых расположено в точке Р, а конец – на основании перпендикуляра, опущенного из точки Р на соответствующую сторону треугольника ABC. Нам нужно доказать, что     то есть, что     Для доказательства рассмотрим еще шесть векторов, каждый из которых лежит на прямой, параллельной стороне треугольника и проходящей через точку Р.

  Начало каждого такого вектора расположено в точке Р, а конец – на одной из сторон треугольника. (На рисунке изображен случай, когда точка Р лежит внутри треугольника.) Через эти векторы легко выразить как векторы, соединяющие Р с вершинами, так и векторы с концами в основаниях перпендикуляров – поскольку параллельные линии разбивают треугольник на правильные треугольники и параллелограммы. Из рисунка видно, что указанное равенство выполняется.
  Легко убедиться в и том, что эти рассуждения проходят и в случае, когда точка Р расположена вне треугольника АВС.

Прислать комментарий

Задача 116455

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

На сторонах АС и ВС равностороннего треугольника АВС отмечены точки D и Е соответственно так, что  AD = ⅓ AC,  CE = ⅓ CE.  Отрезки АЕ и BD пересекаются в точке F. Найдите угол BFC.

Решение

  При повороте на 120° вокруг центра треугольника АBC вершина В перейдёт в вершину А, а точка D – в точку Е, поэтому прямая BD перейдёт в прямую АЕ. Следовательно, угол DFE между этими прямыми равен 120°.

  Рассмотрим середину G отрезка CD. Поскольку  GE = GCE лежит на окружности с диаметром CD. Но точка F также лежит на этой окружности (сумма углов DCE и DFE равна 180°). Значит, угол CFD прямой.

Ответ

90°.
Прислать комментарий


Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 289]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .